第二节
函数的定义域和值域
[知识能否忆起]
1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝a，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
??π
(5)y＝tan x的定义域为?xx≠kπ＋，k∈Z?.
2??
x(6)函数f(x)＝x的定义域为{x|x≠0}．
(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
??4ac－b?4ac－b?
?；?. (2)y＝ax＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为?yy≥当a<0时，值域为?yy≤4a?4a???
2
2
2
0
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝a(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. (6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． (7)y＝tan x的值域是R.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)若f(x)＝x－2x，x∈[－2,4]，则f(x)的值域为( ) A．[－1,8] C．[－2,8] 答案：A 2．函数y＝A．R
1
的值域为( ) x＋2
22
kxx
B．[－1,16] D．[－2,4]
2
111≤.∴0 2 解析：选D ∵x＋2≥2，∴0< 3．(2012·山东高考)函数f(x)＝A．[－2,0)∪(0,2] C．[－2,2] 12 ＋ 4－x的定义域为( ) ln?x＋1? B．(－1,0)∪(0,2] D．(－1,2] x＋1>0，?? 解析：选B x满足?x＋1≠1， ??4－x2≥0， 解得－1 x>－1，?? 即?x≠0，??－2≤x≤2. x－4 4．(教材习题改编)函数f(x)＝的定义域为________． |x|－5 ??x－4≥0， 解析：由? ??|x|－5≠0， 得x≥4且x≠5. 答案：{x|x≥4，且x≠5} 5．(教材习题改编)若x有意义，则函数y＝x＋3x－5的值域是________． 解析：∵x有意义，∴x≥0. 2 ?3?292 又y＝x＋3x－5＝?x＋?－－5， ?2?4 ∴当x＝0时，ymin＝－5. 答案：[－5，＋∞) 函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域． [注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域． 求函数的定义域 典题导入 lg?x－2x? [例1] (1)(2012·大连模拟)求函数f(x)＝的定义域； 2 9－x(2)已知函数f(2)的定义域是[－1,1]，求f(x)的定义域． ?x－2x>0，? [自主解答] (1)要使该函数有意义，需要?2 ??9－x>0， 2 2 x 则有? ?x<0或x>2，? ??－3 解得－3 所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f(2)的定义域为[－1,1]， 1x即－1≤x≤1，∴≤2≤2， 2 x?1?故f(x)的定义域为?，2?. ?2? 若本例(2)条件变为：函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域． 解：∵函数f(x)的定义域是[－1,1]， 1 ∴－1≤x≤1，∴－1≤log2x≤1，∴≤x≤2. 2 ?1?故f(log2x)的定义域为?，2?. ?2? 由题悟法 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 以题试法 2x－x1．(1)函数y＝的定义域是________． ln?2x－1? (2)(2013·沈阳质检)若函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是( ) A．[－2,3] C．[－1,4] B．[－1,3] D．[－3,5] 2
高考总复习函数的定义域和值域
