贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材——必修四
第三课时：任意角的三角函数
1.锐角的三角函数的定义：
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为
abasinA?,cosA?,tanA? ．
ccb2.任意角的三角函数定义：
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r?|x|2?|y|2?（1）比值
x2?y2?0)，那么
yy叫做α的正弦，记作sin?，即sin??； rrxx（2）比值叫做α的余弦，记作cos?，即cos??；
rryy（3）比值叫做α的正切，记作tan?，即tan??；
xx正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
例1．求下列各角的四个三角函数值：
（1）0； （2）?； （3）
例2．已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的四个函数值。
例3．已知角α的终边过点(a,2a)(a?0)，求α的四个三角函数值。
3.三角函数的符号：
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
3?． 2y对于第一、二象限为正（y?0,r?0），对于第三、四象限为负（y?0,r?0）； rx②余弦值对于第一、四象限为正（x?0,r?0），对于第二、三象限为负（x?0,r?0）；
ry③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）．
x①正弦值
4.轴线角的三角函数值：
例4.确定下列三角函数值的符号： （1）cos250； （2）sin(?
o?4)； （3）tan(?672o)； （4）tan11?． 31
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5.诱导公式：
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
sin(??2k?)?sin?，其中k?Z． cos(??2k?)?cos?，其中k?Z． tan(??2k?)?tan?，其中k?Z．
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例4．求下列三角函数的值：（1）cos
例5.求函数y?9?11?， （2）tan(?)， 46cosxcosx?tanx的值域 tanx6.有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。
7.三角函数线的定义：
设任意角过
的顶点在原点
，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点；过点
作单位圆的切线，它与角
，
.
作轴的垂线，垂足为的终边或其反向延长线交与点
我们分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
例7.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．
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题型一、任意角三角函数的定义： 例1.已知角
的终边经过点
，求
的正弦、余弦、正切的值.
例2.已知角的终边经过点，且，求的值.
例3．已知角
的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切的值
题型二、确定角的三角函数值的符号： 例4．确定下列角的三角函数的符号：
（1） （2） （3） 例5．若
两内角、满足，判断三角形的形状。
题型三、画三角函数线：
例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
题型四、利用三角函数线比较大小： 例7.利用三角函数线比较大小
______
______
_____ ______
题型五、利用三角函数线求解下列三角方程（或三角不等式）： 例8．利用三角函数线求解下列三角方程（或三角不等式）
4）
3
（
高一数学必修四,任意角的三角函数知识点及题型
