1.2应用举例
【课题】:1.2.1 解三角形在测量宽度上的应用
【教学目标】
1、 知识与技能目标：
初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题． 2 、过程与方法目标：
（1）通过解决“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”和“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；
（2）进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力． 3 、情感、态度与价值观目标：
（1）通过学生亲自实施对“测量”问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；
（2）发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展． 【教学重点】
重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决． 【教学难点】
分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键． 【课前准备】Powerpoint课件或投影片． 【教学过程设计】 教学环节 教学活动 设计意图 问题1、如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（ ） (A) α，a，b (B)α，β，a 复习(C) a，b，γ 利用正弦(D) α，β，b 定理与余生：最好选用的数据是C，可以弦定理解直接根据余弦定理求出AB的距三角形， C 创设情景 离，其他数据也可以求出AB的距离，但不是最佳． 通过探讨问题2、为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A的形式，0处测得塔尖的仰角为75.5，前进38.5m后到达B处，测提高学生0得塔尖的仰角为80.0。问这个人怎么才能计算出塔的高的学习兴度？ 趣． 生：第一步：在△ABC中，利用正弦定理求出BC的长； 第二步：在Rt△BCD中，利用CD＝BCsin∠CBD即可求出塔的高度。 75.50 A B 80.00 D 新题探究 测 量 距 离 问 题 例1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在A0的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是56 m，∠BAC＝75，∠ACB0＝60，求A、B两点间的距离． 通过对例题1及其变式的探究，引导学生总结解三角形应用题的一般步骤和基本思路。让学生在探讨 B 问题的过程中，感受数学的应用价值、人文价值和美学价值。 A C 生：根据正弦定理，得ABAC ?sin?ACBsin?ABCACsin?ACB56sin600??286 故AB?sin?ABCsin(1800?750?600) 答：A、B两点间的距离为286m． 0变式：某观察站C在城A的南偏西20的方向（如图），由城出发的一条公路，走0向是南偏东40，在C处测得公路B处有一人距C为31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A城？ A 200 400 D C B 222生：在△CDB中，由CD＝BD＋BC－2×BD×BCcosB得 23， 3135300故sinC?sin(180??CAB?B)?sin(120?B)? 62CBAB设AD＝x，在△ABC中，由正弦定理 ?sin?CABsinC3120?x??20?x?35,故x＝15 得0sin60sinC21＝20＋31－2×20×31cosB，解得cosB?222答：这个人还要走15公里才能到达A城． 师：从上面两个例题，可以总结出应用正弦、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是什么？ 生：主要步骤有4步 ① 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； ② 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③ 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； ④ 检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解． （学生总结时，可能会漏第④步，教师注意提醒） 师：解这类问题的基本思路是什么？ 生：实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解． 例2 如图所示，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1，D1，利用高为1．5m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是＝45°和β＝60°，C，D间的距离是12m．计算烟囱的高AB(结果精确到0．01m) 测 量 高 度 问 题 深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，培养学生探究解决问题的方法、思路与策 略，提高0000生：在△BC1D1中，∠BD1C1＝180－β＝180－60＝120 学生应用0000∠C1BD1＝180－∠BD1C1－α＝60－45＝15， 所学知识C1D1BC1解决问题?由正弦定理，得 的能力。sin?C1BD1sin?BD1C1并利用巩C1D1sin?BD1C112sin1200 BC1???(182?66)(m)固练习，0sin?C1BD1sin15通过反馈矫正，了2BC1?18?63?28.392(m) 从而A1B?解学生对2本节教学因此AB＝A1B＋AA1≈28．392＋1．5＝29．892≈29．89(m) 内容的掌答：烟囱的高约为29．89m． 握情况，0巩固练习：如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60，在及时给予0塔底C处测得点A的俯角β＝45，已知铁塔BC部分高32米，求山高CD． 调整。 解：在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB =135°， ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)=180°－(135°+30°)=15°， 又BC=32, 由正弦定理BCAC ,得 ?sin?BACsin?ABCAC?BCsin?ABC32sin30?16??sin ?BACsin15?sin15? 在等腰Rt△ACD中，故 221682AC????16(3?1) 22sin15?sin15?∴山的高度为16(3?1)米． CD?让学生尝试高考尝试高考 选取相距1003米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、∠ADB=45°、∠ACB=75°、题，激发∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离． 学生的成（2004年江西高考题）如图所示，要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边
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