[基础题组练]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则( ) A．3不是数列{an}的项 B．3只是数列{an}的第2项 C．3只是数列{an}的第6项 D．3是数列{an}的第2项和第6项
解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3.整理，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故选D.
1
2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，则a5＝( )
21A. 321C. 4
1B. 161D．
2
111
解析：选A.由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，所以a5＝a3·a2＝.
48323．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“|an＋1|>an”?an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列?|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.
1
4．已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则( )
anA．a3＝－1 C．S3＝3
1
B．a2 019＝
2D．S2 019＝2 019
11
解析：选A.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，
an212 019
a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S6＝3，S2 019＝. 22
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( ) 1A.n－1 3
2B. n（n＋1）
6
C. （n＋1）（n＋2）
解析：选B.由题意知，Sn＋nan＝2， 当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2， 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，
5－2nD．
3
n－1a2a3a4an12
从而···…·＝··…·，
a1a2a3an－134n＋12则an＝，当n＝1时上式成立，
n（n＋1）2
所以an＝. n（n＋1）
2345
6．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝ ．
3579
123n
解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为.
1352n－1答案：
n
2n－1
7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为 ． 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)， 当n＝1时，a1＝6；
??a1·a2·a3·…·an－1·an＝（n＋1）（n＋2），当n≥2时，?
?a1·a2·a3·…·an－1＝n（n＋1），?
n＋2
故当n≥2时，an＝，
n6，n＝1，??
所以an＝?n＋2
*.，n≥2，n∈N??n
6，n＝1，??
答案：an＝?n＋2
*
??n，n≥2，n∈N
8．(2024·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝ ．
解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an
－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，
anan－1ana1
所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n.
nn－1n1答案：n
9．已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n1·n－(－1)n·(n－1)＝ (－1)n1·[n＋(n－1)]＝(－1)n1·(2n－1)， 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n1·(2n－1)． (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n1＋2(n－1)＋1]＝2×3n1＋2，
??6，n＝1，
由于a1不适合此式，所以an＝? －
?2×3n1＋2，n≥2.?
－
－
＋
＋
＋
＋
＋
10．(2024·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式； an＋1＋1
(2)证明：＝4.
an＋1
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.
an＋1＋14an＋3＋14（an＋1）
(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
an＋1an＋1an＋1
[综合题组练]
1．(2024·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前nSn－2
项和为Sn，若n＋1＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝ ．
2
Sn－2＋
解析：因为n＋1＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，
2两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.
答案：n
2．(2024·新疆一诊)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 019＝ ．
1解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－，
an
121311
又a1＝3，则a2＝1－＝，a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－(－2)＝3，
a13a222a32??1?
则数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝3×??3?×?－2?＝－1，则A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1.
答案：－1
11*3．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a2n＋an(n∈N)． 22(1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式．
1111*)，可得a＝a2＋a，解得a＝1； 解：(1)由Sn＝a2＋a(n∈N11
2n2n212111
S2＝a1＋a2＝a22＋a2，解得a2＝2； 22同理a3＝3，a4＝4. 11(2)Sn＝a2n＋an，① 22
11当n≥2时，Sn－1＝a2n－1＋an－1，② 22①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0， 所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn， 又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n1，n∈N*. (2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n1－3n1－(a－3)2n2＝2×3n1＋(a－3)2n
－
－
－
－
－
－
＋
－2
，
an＋1－an＝4×3n1＋(a－3)2n2 ＝2
n－2
－
－
?12·?3???2?n－2
?＋a－3，
?
所以，当n≥2时， 3?
an＋1≥an?12??2?
n－2
＋a－3≥0?a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
2024版高考文科数学(人教A版)一轮复习：第六章 第1讲 数列的概念及简单表示法
