图3.7 1)弹簧片端负荷 假设主片卷耳处负荷为P，其它各片在端点处产生的力为XK，根据两相邻簧片在接触点处变形相等原理，可求出作用在各片端部负荷。 在推导弹簧各片片端负荷之前，将有关的梁变形基本公式列入表3.2中。 现在讨论第K片弹簧端点S的变形。由于第lK?1片在S点变形等于第lK片弹簧在端点处变形，如果弹簧各片端部压延（表3.2），那么可以得到下面等式：
233332XK?1lK?1lKlKXKlKXK[lK??(lK?lK?1)3]XK?1lKXK?1lK?1?1(lK?lK?1)(?)????EIK?1263EIK?13EIK3EIK2EIK 计算第K片弹簧端点S的变形时，仅是第K片弹簧的压延或倒角与变形有关。表3.2中的弹簧片端部形状系数?的计算，是假设端部压延长度或端部切角长度等于相邻两弹簧长度差，显然当簧片端部为矩形时，??0。
表3.2 单片弹簧变形基本公式
单片弹簧 弹簧在A点变形 11
端部是矩形簧片 端部是三角形簧片 端部倒角簧片 32Pl2Pl2(l1?l2)?A?? 3EI2EIbh3I? 12 23l2Pl1l2?A?(?) EI26bh3I? 12 P[l13??(l1?l2)3]?A? 3EI??3311[??(?1)2ln(1??)]?1 ?2??b1 b??1?bh3I? 12端部压延簧片 ?A???P[l13??(l1?l2)3]3EI 111[???2ln(1??)]?1 ?2??h1 h3??1? 12
bh3I? 12
上式经整理后得：
IKlK?1IK?(lK?lK?1)3lK?13lK0.5(3?1)XK?1?[1??]X?0.5()(3?1)XK?1?0K3IK?1lKIK?1lllKKK?1 （3.18）
K?2,3,4?n，而X1?P
对最后一片弹簧，令K?n，而ln?1?0，此时（3.18）式写成：
0.5InlI (3n?1?1)Xn?1?(1?n)Xn?0 （3.19）
In?1lnIn?1AK?0.5???? ? （3.20）
????IKl(3K?1?1)IK?1lKIK?(lK?lK?1)3?]令 BK??[1?3IK?1lKllCK?0.5(K?1)3(3K?1)lKlK?1当弹簧各片片端为矩形时BK：
BK??(1?IK) （3.21） IK?1由（3.18），（3.19），（3.20），（3.21）式，得出计算各片端部负荷的方程组：
A2P?B2X2?C2X3?0?A3X2?B3X3?C3X4?0???A4X3?B4X4?C4X5?0? （3.22）
??????AnXn?1?BnXn?0?方程组（3.22）是 (n?1)次线性方程组，计算各片端部负荷时，从最后一个方程式开始，把 Xn值用 Xn?1表示，并代入前面一个方程组，依次代入第一个方程式中，得到只有 X2和P的关系式，由此求出作用在各片端部负荷X2、X3 …Xn值。
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2)弹簧刚度
由于弹簧总成在卷耳孔处变形δ等于主片在该点处变形δ1，因此如果能知道主片在卷耳孔处变形，就能求出弹簧刚度。 主片在 X2、P力作用下，在卷耳孔处变形 ?1（图3.8），为： 图3.8 ???2Pl3?3X2312l1l2?X2l21?6EI mm 1如果主片是二片等长弹簧，上式又可写成： (P?x3 ???2)l11?3EImm 1弹簧刚度K计算式为： K?2P1??12EPI2Pl32l3 kgf/mm 1?3X2l1l2?X22主片是等长二片弹簧：
K?2P1??6EPI(P?xmm
2)l3kgf/1式中 I1—主片断面惯性矩， mm4。 3） 弹簧应力
当知道各片弹簧受力情况下，就能很容易求出各片应力。 弹簧各片根部应力计算公式为：
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(3.23) 3.24） （ Pl1?X2l2W1Xl?X3l3?2?22W2??Xl?n?nnWn?1??????2? kgf/mm (3.25) ?????'
相邻两弹簧片接触点处应力 ?K为：
P(l1?l2)W1X(l?l)'?2?223W2??Xn?1(ln?1?ln)'?n??1Wn?1?1'??????2? kgf/mm (3.26) ?????无论采用共同曲率法还是集中载荷法，由于采用的假设与实际的多片弹簧不一样，因此计算结果都有一定误差。一般说，用共同曲率法计算出的弹簧刚度值要比用集中载荷法大，而弹簧应力除了末片之外，用共同曲率法计算的应力值与实测值比较接近。 3.2.3 U形螺栓夹紧时弹簧刚度和应力确定
钢板弹簧用U形螺栓夹紧后，部分弹簧长度将不起弹性作用，称之无效长度。这部分长度除了与 U形螺栓夹紧距有关外，还与下列因素有关。
a．弹簧底座和盖板的长度和刚度； b．弹簧与底座或盖板之间是否有软垫； c．U形螺栓夹紧力矩和U形螺栓强度。
弹簧无效长度LS一般取 LS???S，弹簧有效长度Le为：
Le?L?LS?L???S （mm） （3.27）
式中 ?—无效长度系数，一般取 ??0.4~0.6；
S—U形螺栓夹紧距，mm。
按式（3.10）、（3.17）、（3.24）计算弹簧刚度时，用伸直长度L值计算出的刚度是自由刚度，用有效长度Le值计算出的刚度是夹紧刚度。自由刚度用于检测弹簧特性是否能满足设计要求，而夹紧刚度是用于计算悬架频率和新弹簧设计时选择弹簧尺寸参数。
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汽车钢板弹簧悬架设计
