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以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题
一、选择题 1．已知椭圆
??2??
2+
??2??2=1(??>??>0)，与双曲线
??2
??
2?
??2??2=1(??>0,??>0)具有相同焦点
??
F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2、3，22
则??1+??2的最小值是
A．
2+√32
B． 2、√3 C．
1+2√3 2
D．
2+√34
【答案】A 【解析】
根据题意，可知|????1|+|????2|=2??,|????1|?|????2|=2??， 解得|????1|=??+??,|????2|=?????，
根据余弦定理，可知(2??)2=(??+??)2+(?????)2?2(??+??)(?????)cos60°， 整理得??2=
??2+3??2
4??2
，
??2
??2+3??24??2所以??12+??22=??2+??2=故选A.
+
??2+3??24??2 =1+4(
13??2
??2+??2)≥1+
??2
√32
=
2+√32
，
2．已知点??是抛物线??:??2=2????(??>0)的对称轴与准线的交点，点??为抛物线??的焦点，点??在抛物线??上.在????????中，若sin∠??????=???sin∠??????，则??的最大值为（ ） A．
√2 2
B．
√3 2
C． √2 D． √3
【答案】C 【解析】
由题意得，准线??:??=?，??(?,0)，??(,0)，过??作????⊥??，垂足为??，则由抛物线
2
2
2
??
??
??
定义可知????=????，于是??=sin∠??????=???? =????=cos∠??????=cos∠??????，∵??=cos??在(0,??)上为减函数，∴当∠??????取到最大值时（此时直线????与抛物线相切），计算可得直线????的斜率为1，从而∠??????=45°，∴??max=
1√22
sin∠??????????????11
=√2,故选C.
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3．过??2=4??上任一点作(???3)2+??2=1的切线切于??,??两点，则|????|的最小值为（ ） A．
√14 2
B． 1 C．
√7 3
D．
4√2 3
【答案】A 【解析】
根据题意，设??(??,??)为抛物线??2=4??上任一点，则??2=4??， 圆(???3)2+??2=1的圆心??为(3,0), 设|????|=??，则????=√??2?1， 又由??????????=×|????|×|????|=×
2
2
1
1
|????|2
×|????|,
变形可得|????|=2√1???2， 所以当??最小时，|????|最小，
又由|????|2=(???3)2+(???0)2=??2?2??+9=(???1)2+8≥8， 则当??的坐标为(1,4)或(1,?4)时，|????|=??取得的最小值√8， 此时|????|最小，且|????|的最小值为2×√1?8=
??2
??2
1
√14，故选2
1
A.
4．椭圆??：??2+??2=1(??>??>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点??为椭圆
试卷第2页，总26页
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????? ?????????? ??上的任意一点，且??在第一象限，??为坐标原点，??(3,0)为椭圆??的右焦点，则 ????的取值范围为（ ） A． (-16,-10) B． (-10,-【答案】C 【解析】
因为椭圆??的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2??+2??=4?? ，即??+??=2?? ??(3,0)为椭圆??的右焦点，所以c=3 在椭圆中，??2=??2+??2
??=5??2=??2+??2
所以{??+??=2??，解方程组得{??=4
??=3??=3所以椭圆方程为
??225
394
] C． (-16,-
394
] D． (-∞,-
394
]
+
??216
=1
设??(??,??) (0
则25+16=1，则??2=16?25??2 ????? ?????????? =(??,??)(3???,???) ????
=3?????2???2
=3?????2?(16?=?
162
??) 25??2
??2
16
92
??+3???16 25925239=?(???)?
2564因为0
256
????? ?????????? 取得最大值为?39 时，????
4
????? ?????????? 的值趋近于-16 当m趋近于0时，????
????? ?????????? 的取值范围为(-16,-39] 所以????4所以选C 5．??是双曲线
??29
?
??216
=1的右支上一点，M、N分别是圆(??+5)2+??2=1和(???5)2+??2=4
上的点，则|????|?|????|的最大值为（ ） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 【答案】D 【解析】
双曲线??=3,??=4,??=5，故焦点为??1(?5,0),??2(5,0)，圆心分别为(?5,0),(5,0)，半径
试卷第3页，总26页
分别为1,2.画出图像如下图所示. 要求|????|?|????|的最大值，也即是求|????|的最大值减去|????|的最小值.由图可知|????|的最大值为|????1|+1，|????|的最小值为|????2|?2，故|????|?|????|的最大值为|????1|+1?(|????2|?2)=|????1|?|????2|+3=6+3=9.故选D.
6．已知椭圆C：+
4??2
??23
=1的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆??2+??2=4
????????????
上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则) ．
的取值范围是(
A． [1,+∞] B． [,+∞) C． [?∞,] D． （-∞，0）∪（0，1）．
3
3
24
【答案】D 【解析】 椭圆C：4+
??2
??23
=1焦点在x轴上，??=2，??=√3，??=1，右焦点F（1，0），
由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB， 则?????????????=?1 ，则??????=??? ，??
????
1
??????
????
=
?
1
????????????
=???
1
??????????
，
设??（2????????，√3????????）， 则?????????????=
√3????????2????????+22?????????1
?
√3????????=4??????2??+2?????????2=4??????2??+2?????????2 ，
3(1???2)
??
4??2+2???23(??2?1)
????
3??????2??3(1???????2??)
设??=????????，??∈（?1，1）， 则??（??）=4??2+2???2，∴??????==3+3????1∈
421
（?∞，1）， 且不等于0．
故选D：
7．已知??1,??2是双曲线??2???2=1(??>0,??>0)的左右焦点，若在右支上存在点??使得
试卷第4页，总26页
??2
??2
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点??2到直线????1的距离为2??，则离心率??的取值范围是（ ） A． [√2,+∞) B． (√2,+∞) C． (1,√2) D． (1,√2] 【答案】B 【解析】
设????1:??=??(??+??),(|??|<) ，所以2??=
????
|2????|√1+??2?|??|=
????
<
????
???√2
选B.
8．已知直线??=?????1与双曲线??2???2=4的右支有两个交点，则??的取值范围为（ 、 A． (0,
√5) 2
B． [1,
√5] 2
C． (?
√5√5,) 22
D． (1,
√5) 2
【答案】D 【解析】
由??2???2=4得双曲线的渐近线方程为y=±x，
根据图象可得当﹣1，k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点， 当k≤，1时，直线与双曲线右支没有交点， 把y=kx，1代入x2，y2=4得：（1，k2，x+2kx，5=0， 令△=4k2+20，1，k2，=0，解得k=或k=，（舍）． ∴1，k，2时直线与双曲线的右支有2个交点. 故选：D，
9．设椭圆??2+??2=1 （??>??>0)的左、右焦点分别为??1(???,0)，??2(??,0)，点??(??,2)在椭圆的外部，点??是椭圆上的动点，满足|????1|+|????|<2|??1??2|恒成立，则椭圆离心率??的取值范围是 A． (0，√2) 2
3
??2
??2
??
√5√52
√52
B． (
√2，1) 2
C． (
5√2，) 26
D． (,1)
6
5
【答案】D 【解析】
∵点??(??,2)在椭圆的外部，∴??2+4??2＞1，??2＜2 ， 由椭圆的离心率??=??=√1???2＞√1?2=
??
??2
1
√2 ， 2
??
??
??2
??2
??2
1
|????1|+|????|=2???|????2|+|????|， 又因为?|????2|+|????| ≤ |????2|，且|????2|=2，要|????1|+|????|<|??1??2|恒成立，即2???|????2|+|????| ≤ 2??+<×2??，则椭圆离心
222率的取值范围是(6,1)．故选：D．
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??
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