1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
基础巩固
一、选择题
1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A．2倍 C．2倍 [答案] C
[解析] 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故选C．
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )
A．27 C．6 [答案] C
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则c＝1，ab＝2，a2＋b2·c＝5， ∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为轴旋转，将正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．2π C．2 [答案] A
[解析] S＝2πrh＝2π.
4．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) ．．．
B．π D．1 B．43 D．3 B．3倍 D．5倍
A．6 C．35π [答案] C
[解析] 圆台的两底面半径分别是1,2，高为2，则母线长为＋1＝5，则其侧面积等
B．6π D．65π
于π(1＋2)×5＝35π.
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 C．48 [答案] B
1
[解析] 易知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则斜高为22，故S侧＝4×
2×4×22＝162，S底＝4×4＝16，所以S表＝16＋162.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
B．16＋162 D．16＋322
A．180 C．0 [答案] D
[分析] 根据三视图可以确定此几何体为四棱柱，再由数量关系分别去确定侧面积与底面面积，相加为该几何体的表面积．
[解析] 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为51的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋
25×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.
[易错警示] 本题在求解过程中易错误将3作为等腰梯形的腰长，从而误求结果为200. 二、填空题
7．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝
B．200 D．240
__________ ________cm.
[答案] 3
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)， ∴2πr2＋8πr＝42π， 解得r＝3或r＝－7(舍去)， ∴圆柱的底面半径为3 cm.
8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为__________ ________.
[答案] 24＋23
[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，1
且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(×2×3)＋3×(4×2)＝24＋23.
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三、解答题
9．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
[分析]
因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被打透．这样一来打洞后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
[解析] 正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)， 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)． [小结]
求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、
锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．
10．一个棱锥的三视图如图所示，求该棱锥的表面积．(单位：cm2)
[答案] 48＋122
[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18，垂直于底面积1
的面为等腰三角形，面积为×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的
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面积都为×6×5＝15.所以全面积为48＋122.
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[归纳总结]
由三视图求表面积时，关键是利用三视图还原出几何体．要注意三视图中的数据，还原成直观图(或实物)后的变化．
能力提升
一、选择题
1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A．6a2 C．18a2 [答案] B
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体122?1a?2＝2a2，2∴增加了S－S＝12a2. 的棱长为a，其表面积为6×总表面积S2＝27×a＝18a，21
?3?333
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) 1＋2π
A．
2π1＋2πC．
π[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1
1＋4π
B． 4π1＋4πD． 2πB．12a2 D．24a2
＋2π)
S全1＋2π
又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.
2πS侧[点评]
圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．3π C．2π＋4
B．4π D．3π＋4
[答案] D
[解析] 由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为1
π×1×2＋×π×12×2＋2×2＝3π＋4.故答案选D．
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4．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm), 则此几何体的表面积是( )
高中数学人教版必修柱体锥体台体的表面积与体积作业(系列二)
