示范教案
整体设计
教学分析
教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习B中给出了直线的截距式方程．
值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．
三维目标 1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．
2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．
3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点
教学重点：直线方程的四种形式及应用． 教学难点：求直线方程． 课时安排 1课时
教学过程 导入新课
设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢？教师引出课题．
设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线y＝kx＋b就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题．
推进新课 新知探究 提出问题
(1)如左下图所示，已知直线l过P0(x0，y0)，且斜率为k，求直线l的方程．
(2)已知直线l过点P(0，b)，且斜率为k(如右上图)，求直线l的方程．
(3)已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，求直线AB的方程．
(4)已知直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a≠0，b≠0.求证直线l的xy
方程可写为＋＝1.(这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)
ab
讨论结果：
(1)设点P(x，y)为直线l上不同于P0(x0，y0)的任意一点，则直线l的斜率k可由P和P0
y－y0
两点的坐标表示为k＝.即y－y0＝k(x－x0)．①
x－x0
方程①就是点P(x，y)在直线l上的条件．在l上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l上．
方程①是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．
特别地，当k＝0时，直线方程变为y＝y0.这时，直线平行于x轴或与x轴重合． (2)直线l的点斜式方程为y－b＝k(x－0)．整理，得y＝kx＋b.
这个方程叫做直线的斜截式方程．其中k为斜率，b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称为直线的截距．
这种形式的方程，当k不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式．
y2－y1
(3)设P(x，y)是直线AB上任一点，则kAB＝，所以直线AB的点斜式方程为y－
x2－x1
y2－y1y－y1x－x1y1＝(x－x1)，整理得＝(x≠x2，y1≠y2)，这种形式的方程叫做直线的两点
x2－x1y2－y1x2－x11式方程．
y－0x－axy(4)直线l过点(a,0)，(0，b)，则直线l的两点式方程为＝，整理得＋＝1.这种
abb－00－a形式的直线方程，叫做直线的截距式方程．
应用示例
思路1
例1求下列直线的方程：
(1)直线l1：过点(2,1)，k＝－1；
(2)直线l2：过点(－2,1)和点(3，－3)． 解：(1)直线l1过点(2,1)，斜率k＝－1.
由直线的点斜式方程，得y－1＝－1(x－2)，整理，得l1的方程为x＋y－3＝0. (2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程． 直线l2的斜率k＝
－3－14
＝－，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y－1
53－?－2?
4
＝－[x－(－2)]，整理，得l2的方程4x＋5y＋3＝0.
5
y－1x＋2
另解：直线l2的两点式方程为＝，整理，得4x＋5y＋3＝0.
－3－13＋2
点评：为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax＋by＋c＝0的形式． 变式训练
分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形： (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．
解：(1)这条直线经过点P(3,4)，斜率k＝2，点斜式方程为y－4＝2(x－3)， 可化为2x－y－2＝0.如图(1)所示．
(2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行，即斜率k＝0，所以直线方程为y＝4. 如图(2)所示．
(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直，所以直线方程为x＝3. 如图(3)所示．
图(1)
图(2)
图(3)
例2已知三角形三个顶点分别是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．
y－0－2－0
解：如下图，因为直线AB过A(－3,0)，B(2，－2)两点，由两点式，得＝，
x－?－3?2－?－3?整理，得2x＋5y＋6＝0，
这就是直线AB的方程；
y－01－0
直线AC过A(－3,0)，C(0,1)两点，由两点式，得＝，整理，得x－3y
x－?－3?0－?－3?＋3＝0，
这就是直线AC的方程；
1－?－2?3
直线BC的斜率是k＝＝－，过点C(0,1)，
20－23
由点斜式，得y－1＝－(x－0)，
2整理得3x＋2y－2＝0， 这就是直线BC的方程．
1
例3求过点(0,1)，斜率为－的直线的方程．
2
1
解：直线过点(0,1)，表明直线在y轴上的截距为1，又直线斜率为－，由直线的斜截21
式方程，得y＝－x＋1.
2
即x＋2y－2＝0. 变式训练
1．直线l：y＝4x－2在y轴上的截距是______，斜率k＝______. 答案：－2 4
2．已知直线l：y＝kx＋b经过第二、三、四象限，试判断k和b的符号． 解：如下图所示
因为直线l与x轴的正方向的夹角是钝角，与y轴交点位于y轴的负半轴上，所以k<0，b<0.
思路2
例4过两点(－1,1)和(3,9)的直线l在x轴上的截距是______，在y轴上的截距是______．
解析：直线l的两点式方程是
x＋1y－13
＝，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－.即直
23＋19－1
3
线l在x轴上的截距等于－，在y轴上的截距等于3.
2
3
答案：－ 3
2
点评：已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x＝0，解得y的值即是在y轴上的截距，令y＝0，解得x的值即是在x轴上的截距．
变式训练
已知直线过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y－3＝k(x＋2)． 令x＝0，得y＝2k＋3； 3
令y＝0，得x＝－－2.
k
13
∴由题意，得|(2k＋3)(－－2)|＝4.
2k3
若(2k＋3)(－－2)＝－8，无解；
k3
若(2k＋3)(－－2)＝8，
k
19
解得k＝－，k＝－. 22
19
∴所求直线的方程为y－3＝－(x＋2)和y－3＝－(x＋2)，即x＋2y－4＝0和 9x＋2y
22＋12＝0.
例5 设△ABC的顶点A(1,3)，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0，y＝1，求△ABC中AB、AC各边所在直线的方程．
分析：为了搞清△ABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出图形，帮助思考问题．
解：如下图，设AC的中点为F，则AC边上的中线BF为y＝1.
AB边的中点为E，则AB边上中线CE为x－2y＋1＝0.
设C点坐标为(m，n)．在A、C、F三点中A点已知，C点未知，F虽然为未知但其在中线BF上，满足y＝1这一条件．
1
＝F点横坐标，?m＋2
这样用中点公式?n＋3
?2＝F点纵坐标1.
解出n＝－1.
又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m－2n＋1＝0. ∴m＝－3.
∴C点为(－3，－1)．
用同样的思路去求B点．设B点为(a，b)，显然b＝1. 又B点、A点、E点中，E为中点，B点为(a,1)，
1＋a3＋11＋a1＋a
E点坐标为(，)，即(，2)．E点在CE上，应当满足CE的方程－4＋1
2222＝0，解出a＝5.∴B点为(5,1)．
由两点式，即可得到AB，AC所在直线的方程．lAC：x－y＋2＝0.lAB：x＋2y－7＝0. 点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；
(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来．
变式训练 已知点M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为多少？
解：∵P点在直线2x－y－1＝0上， ∴设P(x0,2x0－1)．
2
∴|PM|2＋|PN|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－1)2＋(x0＋1)2＝2(2x0－1)2＋2x20＋2＝10x0－
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的点斜式方程和两点式方程》教案
