2019年高考数学总复习笔记讲义
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高考数学总复习第一讲：函数与方程
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．
在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．
一、例题分析
例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．
分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．
例2．已知0 的大小． 分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于 指数函数y=ax(0 比较aα与(aα) α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用指数函数 是减函数，由于1>a，得到aα<(aα) α． 由于a＜aα，函数y=ax(0 2 综上， ． 解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单． 例3．关于x的方程 有实根，且根大于3，求实数a的范围． 分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0 ， ，又因为x≠1，在图（1）中，过（1，3）点的． 若将ax=3变形为 ，令 ，现研究指数函数a=3t，由0 ，如图（2），很容易得到： ． 通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利． 例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是（ ）． （A）f(x)=x+4 （B）f(x)=2-x （C）f(x)=3-|x+1| （D）f(x)=3+|x+1| 解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确． 又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）． 解法二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB， ∵函数周期是2， ∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ． ∵函数是偶函数， 3
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