bx cy 3 0
截圆 x 2 y 2
1 所得的弦长等于 __________ __ .
5 ，于是 b2 c2
解析：由椭圆定义知
2a 10 ，所以 a 0 的距离等于 d
a2 25 ，圆 x2 y 2 1 的 )
圆心到直线 bx
cy 3
3 b
2
3 c2 5
，故弦长等于 2 1 (
32
8 . 5
5
动向解读：本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题，这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原
则 . 值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值 .
预测 5. （理科） 已知椭圆
x2
8
y 2
b2
1(0 b
2 2) 的左、右焦点分别为
F1和 F2 ，
以 F1 、 F2 为直径的圆经过点 A，B 两点，且 MA MB
M （ 0， b）.（ 1）求椭圆的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆相交于
0.求证：直线 l 在 y 轴上的截距为定值 .
2 2 ，所以 b c
解析：（ 1）由题设知 b c ，又 a
2 ，故椭圆方程为 x2
8
y2 1 ； 4
（2）因为 M(0,2) ， 所 以 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直 . 设 直 线 l 的 方 程 为 y kx m ，
x2 y
y2
A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) .由 8
4
kx m
1
得 (2k 2
1)x2 4kmx
2m2
8 0 ，
所以 x1
x2
4km , x1 x2
2k 2 1
2m2 8 ， 2k 2 1
又 MA 即 x1 x2
MB
0 ，所以 (x1, y1 2) ( x2, y2 2) 4 0，
0 ，
y1 y2 2( y1 y2 )
x1x2 (kx1 m)(kx2 m) 2(kx1 m kx2 m) 4
整理得 (k 2 即 (k 2
0 ，
1)x1 x2 k (m 2)( x1 x2 )
(m 2)2 0 ，
1) 2m2
2k2
8 k (m 2)( 4km ) (m 2) 2 0 ，
2k 2 1 1
因为 m
2 ，所以 2(k2 1)(m 2) 4k2 m (2k 2 1)(m 2) 0，
展开整理得 3m 2
0 ，即 m
2 3
.直线 l 在 y 轴上的截距为定值
2
.
3
动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题，这是一类综合性较强
的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容 . 这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量
等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒 等变形能力、化简计算能力有较高的要求
.
（文科） 已知圆 C : ( x
4)2 ( y m) 2
16(m N )，直线 4x 3y 16
0过椭圆
E :
x
2 2
2
a
y2 1( a b
b
0) 的右焦点，且交圆
C 所得的弦长为 32 ，点A (3,1) 在椭圆 E 上 .
5
（1）求 m 的值及椭圆 E 的方程；
（2）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求
解析：（ 1）因为直线 4x
AC AQ 的取值范围 .
3y 16
0 交圆 C 所得的弦长为
32
5
,
所以圆心 C (4, m) 到直线 4x
3 y 16 0 的距离等于
42
即|4 4
3 m 16 |
5
16
125
( 16 )2 12 ,
5 5
，所以 m 4,或 m
4 （舍去），
又因为直线 4x 3 y 0 过椭圆 E 的右焦点，所以右焦点坐标为
F2 (4,0).
则左焦 点 F1 的坐标为 ( 4,0). ，因为椭圆 E 过 A 点，所以 | AF1 | | AF2 | 2a ，
所以 2a
5 2
2
6 2, a 3 2, a2 18,b2
2 ，故椭圆 E 的方程为：
x2
18
y2
2
1.
（2） AC
(1,3), 设 Q( x, y) ，则 AQ ( x 3, y 1) ，设 x 3 y n ， y2
x2
则由 18
2
x 3y n
1
，消去 x 得 18y2 6ny n2
18 0 ,
由于直线 x 所以 6
3 y n 与椭圆 E 有 公共点，所以 6，故 AC AQ x
(6n)2 4 18 (n2
18) 0 ，
n
3y 6 的取值范围为 [ 12,0] .
动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题，这是一类综合性较强
的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容 . 这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量
等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒 等变形能力、化简计算能力有较高的要求
.
命题热点五 三角函数与平面向量
高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、
诱导公式、 同角三角函数关系、 三角函数的图像和性质、 两角和与差的三角函数公式、 角公式、正弦定理、余弦定理、平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量 的应用。 高考对该部分的考查重基础， 虽然该部分内容在试卷中试题数量多、 多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。
在高考中重点考查： 三角函数的图像和性质、
平面向量的几何意义等。
预测 1. 将函数 y= sin 2 x 的图像向左平移
二倍
占有的分值较
正弦定理、 余弦定理、 平面向量的数量积、
个单位， 再向上平移 1 个单位， 所得图像的函数
4
解析式是
A ． y= cos2 x
B． y= 2cos 2 x
C．y=1+ sin
2x
4
D． y= 2sin 2 x
解 析 ： : 将 函 数 y s i n 2x 的 图 象 向 左 平 移
个单位,得到函数 y
s i n 2 (
x)
即
4
4
y sin(2 x
) cos2 x 的图象 , 再向上平移 2
1 个单位 , 所得图象的函数解析式为
y 1 cos2 x 2cos2 x ,故选 B ．
预测 2.已知向量 m
(2cos x,1), n
( 3sin
x cos x, a) ，其中 (x R,
0) ，函数
f ( x) m n 的最小正周期为
（ 1）求 和常数 a 的值；
，最大值为 3。
（ 2）求函数 f ( x) 的单调递增区间。
解析：（ 1） f ( x) m
3sin 2
由 T
2
n 2 3sin x cos x 2cos2 x a x cos2 x 1 a 2sin(2 x ) a 1 ，
，
，得
1。
6
2
又当 sin(2
1 时 ymax 2 a 1 3 ，得 a x )
6
（ 2）由（ 1） f (x) 2sin(2 x ) 1 当 2k 2x
6 2
即 k
2 .
2k
6
, k 6
2
(k
Z ) ，
x
6
k
3
，故 f ( x) 的单调增区间为 [ k
] ， (k Z ) 。
3
动向解读：本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。三角函 数解答题的命题方向： （ 1）考查三角函数的图像与性质为主，一般需要求出函数的解析式， 通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。
（ 2）考查三角形中的三角恒等变换，其核心
为根据正余弦定理实现边角之间的互化。 （ 3）考查利用正余弦定理解三角形（包括实际应用
题），这在近几年课标区高考试题中经常考到。
命题热点六
数列与不等式
高考对该部分主要从以下几个方面考查： 数列的概念、 等差数列和等比数列、 一元二次
不等式、 一元二次不等式组和简单的线性规划问题、 式解答题（选做题除外） ，通常会在小题中设置 解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。
基本不等式的应用等。 高考在解答题中
试卷中没有不等
一般有一道数列题， 各地高考的试题不尽相同， 但总的趋势是难度在下降；
1 到 2 道，而对不等式的深层考查则在数列
x y 3
预测 1. 设变量 x， y 满足约束条件：x y
1 ．则目标函数 z=2x+3y 的最小值为
2x y 3
B． 7
C． 8
A ． 6 D．23
x y
解析：画出不等式 x y
3
1表示的可行域， 让目标函数表示直线 3
y
2 x
3
z 3
在可行域
2x y
上平移，解方程组
x y 3 2 x
y 3
得 (2,1) ，知在点（ 2， 1）处目标函数取到最小值，所
以
zmin
4 3
数 列7，选 B。
预测 2.
an 的 前 n 项 和 为 Sn ， a1 1 ， an 1 2Sn
1 ， 等 差 数 列 bn 满 足
b3 3,b5 9 ，
（1）分别求数列 （2）若对任意的 n
an ， bn 的通项公式；
N * ， ( Sn 1 ) k bn 恒成立，求实数 k 的取值范围．
2
解析：（ 1）由 an 1
②得①
2Sn 1---- ①得 an 2Sn 1 1---- ②，
an 1
an 2(Sn Sn 1) ，
an 1
3an , an 3n 1 ； 2d 6, d 3, bn Sn
a1 (1 q )
1 q
nn
b5 b3
（2）3 ( n 3) 3 3n 6 ； -
1 3 3
1 3 2
n1 ，
( 3n
2
1 1)k
2
3n
6 对 n N * 恒成立， 即
k 3n 6 对 n N * 恒成立，
3n
3n 6
令 cn
3n
， cn
c3n 6
3n 9 3n 1
2n 7
，( cn 1
3n
3n
n，
当 n
3 时， cn cn 1 ，当 n 4 时， cn
cn 1
)max
c3
2
， k
2 9
．
9
动向解读：数列知识在高中是主干知识之一，数列题目蕴含着极为丰富的数学思想方法，高考对数列的考查主要以等差数列和等比数列为主，结合函数、不等式、解析几何等进行考查；不等式主要考查应用，即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的关系等，利用基本不等式求待定函数的最值，利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。
2012年高考数学必考考点题型大盘点
