递减，故 g (x) 在 [2, e] 上得最大值为 g(2)
2 ，因此要使 a 3x x 2
1
恒成立，应有 a 2 .
动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”
为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等
价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法
命题热点三
.
立体几何与空间向量
一是考查空间几何体的结
（理科） 高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：
构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向
量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等
.
在高考试卷中，一般有
1~2 个客观题和一个解答题 .多为容易题和中档题 .
一是考查空间几何体的结构特征、
（文科） 高考对立体几何的考查主要有两个方面：
直
观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；
在高考试卷中，一般有
1~2 个客观题和一个解答题 .多为容易题和中档题 .
预测 1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于
A．
3
B ． 2
C．2 3
D ．6
解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于
2，高是 1，所以其侧面积等于
S 3 2 1 6，故选D.
动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算，在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质 .
预测 2.平面
与平面
相交，直线 m
，则下列命题中正确的是
A. B. C. D.
内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直 内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直 内必存在直线与 m 平行，却不一定存在直线与 m 垂直
解析：假设
，由于
l
m
，所以必有 m
，因此在
l
内必存在直线
l 与 m
垂直；当
时，可存在直线与
m 平行，当
与 不垂直时，在 内一定不存在直线与
m 平行 .故选 B.
动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是以符号语言给出，考查对相关定理的理解与运用，解决这类问题时，要熟练掌握相关的定理，善于
利用一些常见的几何体作为模型进行判断，还要善于举出反例对命题进行否定 .
预测 3.（理科）正△ ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高， E, F 分别是 AC 和 BC 边
的中点，现将 △ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A DC
B ．
（1）试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角 E
DF C 的余弦值；
（3）在线段 BC 上是否存在一点 P，使 AP
A
DE ？证明你的结论．
A
E
D
E
C
D
F
C
B
F
B
解：法一：（ I）如图：在 △ABC 中，由 E、 F 分别是 AC 、BC 中点，得 EF//AB，又
AB 平面 DEF ， EF 平面 DEF ，∴AB ∥平面 DEF ．
（ II ）∵AD ⊥CD， BD ⊥CD ，∴∠ADB 是二面角 A —CD — B 的平面角，
∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面 BCD ，取 CD 的中点 M ，这时 EM ∥AD ，∴EM ⊥平面 BCD ，
过 M 作 MN ⊥DF 于点 N，连结 EN ，则 EN⊥DF，
∴∠MNE 是二面角 E— DF — C 的平面角 .
在 Rt△EMN 中， EM=1， MN =
3
2
，∴tan∠MNE=
23
， cos∠MNE = 21 .
3
7
（Ⅲ）在线段 BC 上存在点 P，使 AP ⊥DE， 证明如下：在线段
BC 上取点 P。使 BP
1
3
BC ，过 P 作 PQ⊥CD 与点 Q，
∴PQ⊥平面 ACD
∵DQ
1 DC
3
2 3 在等边 △ADE 中，∠ DAQ=30° 3
∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE.
法二：（Ⅱ ）以点 D 为坐标原点，直线 DB 、 DC 为 x 轴、 y 轴，建立空间直角坐标系， 则 A （0，0，2）B（2，0，0）C（0， 平面 CDF 的法向量为 DA
2 3,0,), E(0, 3,1), F (1, 3,0) .
(0,0,2) 设平面 EDF 的法向量为 n ( x, y, z) ，
则
DF n
DE n
取 n (3, 0 即 x 3y
0 3y z 0
0
3,3) ，
cos
DA ,n
DA n | DA || n |
21 ，所以二面角 E— DF— C 的余弦值为 7
A
z
21 ；
7
E
C
D
B x
F
P
（Ⅲ）设 P( x, y,0), 则 AP DE
3y
2 0
y
2 3
3
，
又 BP (x 2, y,0), PC ( x,2 3 (x 2)(2 3 y)
xy
y,0) ，
3x
BP // PC
把 y
y 2
3
2 3
3
代入上式得 x 4 , BP
3
1
BC ，
3
所以在线段 BC 上存在点 P 使 AP ⊥DE.
动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高考的必
考内容，也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中
直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间中两异面直线所成的角、
直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查
. 这类问题
通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空
间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算
. 这类考题通常有 2 至 3 个小问题，在解答过
.
程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度
预测 3.（文科） 如图，平行四边形
ABCD 中， CD 1， BCD 60 ，且 BD CD ，正
方形 ADEF 所在平面与平面
ABCD 垂直， G, H 分别是 DF , BE 的中点．
F
E
G
（1）求证： BD 平面 CDE ；
A
H
D
（2）求证： GH // 平面 CDE ；
（3）求三棱锥 D CEF 的体积．
B
C
（Ⅰ）证明：平面 ADEF 平面 ABCD ，交线为 AD ，
ED
又 BD
AD ，∴ ED CD ，∴ BD
平面 ABCD ，∴ ED
平面 CDE ；
BD ，
（Ⅱ）证明：连结 EA ，则 G 是 AE 的中点，∴
EAB 中， GH // AB ，又
AB//CD ，
∴ GH // CD ，∴ GH // 平面 CDE ；
（Ⅲ）解：设 Rt BCD 中 BC 边上的高为 h ， 依题意： 2 h
1
2
1 1 2
3
，
∴ h
3 即：点 C 到平面 DEF 的距离为 2 ，
3 ， 2
3
∴V
D CEF
V
C DEF
1 2 2 3 2
1
3 2
3 .
动向解读：本题主要考查立体几何中的综合问题，这是每年高考的必考内容，也是高
考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平
面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间几何体表面积、体积的计算求解等，有
时还会以开放性的设问方式进行考查
. 这类问题通常有 2 至 3 个小问题，在解答过程要注意
各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度
命题热点四
解析几何
.
高考对解析几何的考查主要包括以下内容：
直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、
直线与圆的方程、 圆锥曲线等， 在高考试卷
中一般有 1~2 个客观题和 1 个解答题， 其中客观题主要考查直线斜率、 直线方程、 圆的方程、
标准方程的求解、离心率的计算等，
解答题则
主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等， 考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是 思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练
预测 1. 如果圆 ( x
等于 ———————————— .
解析：依题意直线
直线斜率为 k
.
3)2 ( y 1)2 1关于直线 l : mx
4 y 1 0 对称，则直线 l 的斜率
mx 4y 1 0 经过点 ( 3,1)，所以
3m
4
1 0 ， m 1，于是
1 4
.
动向解读：本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与
圆锥曲线的内容综合起来进行考查 .
预测 2. 已知双曲线
x2
9
y 2 1 的左右焦点分别是 F1, F2 ，P 点是双曲线右支上一点， 16
且|PF2 | | F1 F2 | ，则三角形 PF1 F2 的面积等于 —————————— .
解 析 ： 由 已 知 可 得 a 3 ， | F1F2 | 2c 10 ， 而 | PF1 | | PF2 | 2a 6，所以
|PF1| 16,| PF2 | 10 ， 又 | F1F2 | 10，所以可得三角形PF1F2
S
的面积等于
1 16
2
102 82 48 .
动向解读：本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题
.
尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考 查却常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目 用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解.
. 解答这类问题要善于运
预测 3.已知椭圆
x2
椭圆上任意一点，且直线 PM 、 PN 的斜率分别为 k1、k2 ，若 k1 k2
a2
y2 b2
1(a b 0) ， M , N 是椭圆上关于原点对称的两点，
P 是
1 4
，则椭圆的离心率
为
1
A.
2 2
3
C.
2
D ．
2
B.
2 3
解析：设
P(x, y), M ( x0 , y0 ), N ( x0, y0 ) ，则 k1 y
y0 , k2
x x0
y y0 ，依题意有 x x0 y2 b 1
2 1, 2
k1k2
y y0 y y0 x x0 x x0
x2
y2 y02
2
2 . 又因为 M , N 在椭圆上，所以
x2
2
x02 a
y02
2
1 ，
x
x0
a
b c2
两式相减得
x0 2 a2
y 2 y02
0 ，即
y2 y02 x2 x02
b2
b2 ，所以 b2 a2 a2
，即
a2
1 4
，
4
a2
解得 e
3 2
.故选 C.
动向解读：本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特点是：
很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求 离心率的值或取值范围
. 解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量
关系或参数间的等量关系，
其次是根据题目提供的几何位置关系，
确定参数 a,b, c 满足的等
式或不等式，然后根据
a, b, c 的关系消去参数
b ，从而可得到离心率的值或取值范围
.
预测 4. 已知椭圆
(x c)
2
y 2
( x c) 2
y 2
10 的短轴长为 2b ，那么直线
2012年高考数学必考考点题型大盘点
