2012 年高考数学必考考点题型大盘点
命题热点一
集合与常用逻辑用语
集合这一知识点是高考每年的必考内容，
算，二是集合间的关系，三是集合语言的运用 解题中的应用 .
对集合的考查主要有三个方面： 一是集合的运
. 在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容
易题 .集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在
常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种 命题及其相互关系、 全称命题与特称命题等，
在试卷中一般以选择题的形式出现，
题和中档题， 这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法， 知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。
预测 1. 值范围是 A.( 2,
属于容易
还与其他数学
已知集合 A
x | 2x x2
0 ，集合 B
( a, b) ，且 B
A ，则 a b 的取
) B. [ 2, ) x | 2x x2
C. ( , x | 0
2) D. ( , 2]
解析：化简 A 得 A
0
x 2，由于B
A ，所以 a 0 ，
b 2
于是 a b
2 ，即 a b 的取值范围是 [ 2, ) ，故选 B.
动向解读：本题考查集合间的关系，考查子集的概念与应用、不等式的性质等，解答时注意对集合进行合理的化简 .
预测 2. 若集合 A
x |
1 x
2, x R ， B
x | y log 3 (1 x) ，则 A
B 等于
A.
B. (
1
,1)
C. (
2 A
,0) (,1)
2 , B
1
D. ( 1
,1]
2 B
解析：依题意
x | x
0或 x
1 2
x | x 1，所以A
(
,0) ( ,1) .
1 2
故选 C.
动向解读：本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题，是高考的热点题型 . 在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时，要注意充分利用 数轴这一重要工具，通过数形结合的方法进行求解
.
预测 3. 已知命题 p : x
围是
A.[,
[0, ],cos 2x cos x m
2
0 为真命题，则实数
m 的取值范
9 8
1]
B. [
9 8
, 2]
C. [
1,2]
D. [
9 8
,
)
解析：依题意， cos 2x
cosx m 0 在 x [0,
] 上恒成立，即 cos2x 2
cos x m .
令 f ( x)
cos2 x
cos x 2cos2 x cos x
1
2(cos x 1 )2 9 ，由于 x [0, ] ，所以
4 8 2
cos x [0,1] ，于是 f ( x) [ 1,2] ，因此实数 m 的取值范围是 [ 1,2] ，故选 C.
动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断，对于一个全称命题，要说明它是真命题，需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只要举出一个反例即可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题，只要找到一个值使其成立即可，而要
说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明
.
预测 4.
“ a
0 ”是“不等式 x2
B.必要不充分条件
ax 0 对任意实数 x 恒成立”的
A. 充分不必要条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：不等式 x2
ax 0 对任意实数
0 ，故“ a
x 恒成立，则有
( a )2
a 0 ，又因为
a 0，所以必有 a
0 ”是“不等式 x2
ax 0 对任意实数
x 恒成立”的
必要不充分条件 .故选 B.
动向解读：本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因为这类
问题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关的数学知识， 是一个知识交汇的重要载体 更重要的是要善于列举反例 .
. 解答这类问题时要明确充分条件、 必要条件、 充要条件的概念，
命题热点二 函数与导数
函数是高中数学的主线， 是高考考查的重点内容， 主要考查： 函数的定义域与值域、函
数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填 空题的形式考查函数的性质、
一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识 想、数形结合思想等都是考考查的热点.
函数与方程、 基本初等函数等， 以解答题的形式与导数交汇在
.其中函数与方程思
高考对导数的考查主要有以下几个方面： 一是考查导数的运算与导数的几何意义，
二是
考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用 导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现， 的综合应用，则主要是和函数、
不等式、 方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，
.
属于容易题和中档题； 而对于导数
例如
一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题
.
预测 1. 函数 f ( x)
x 2 2ax a 在区间 (
,1) 上有最小值，则函数 g (x)
f ( x) 在 x
区间 (1,
) 上一定
A ．有最小值 B ．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
解 析 ： 函 数 f ( x) 图 像 的 对 称 轴 为 x a ， 依 题 意 有 a 1 ， 所 以
g( x)
f ( x) x
x
a x
2a ， g( x) 在 (0,
a ) 上递减，在 ( a ,
) 上递增，故
g(x) 在
(1,
) 上也递增，无最值，选
D.
动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题 . 对于二次函数，高考有着
. 在研究函数的单调性以及最值
较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法
问题时，要善于运用基本不等式以及函数
y x
p
x
( p 0) 的单调性进行求解 .
预测 2. 如图，当参数 分别取 1,
2
时，函数 f ( x)
2x
1
( x 0) 的部分图像分别对
x
应曲线 C1, C2 ，则有
A.01
2
B. 0
2
1
C. 1
2
0
D. 2
1
0
解析：由于函数 f ( x)
2 x 1
的图像在 [0, ) 上连续不间断， 所以必有
1
1
0,2 0.
x 2 1
1
2 1
2
又因为当 x
1 时，由图像可知
，故
2 ，所以选 A.
动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数
图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围 . 解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的 性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围
预测 3. 已知函数 f ( x) e
.
x
mx的图像为曲线 C，若曲线 C 不存在与直线 y
1 x 垂
2
D. m 2
直的切线，则实数
A. m
m 的取值范围是
1 2
B. m
1 2
C.
m y
2
解析： f ' ( x)
ex m，曲线 C 不存在与直线
1
x垂直的切线，即曲线 C 不存在斜
2 m
2 ，故 m 2 0 ，因此 m
率等于 2 的切线，亦即方程 ex
m 2 无解， ex
2 .
动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以
“切点”为核心，并注意对问题进行转化
预测 4. （理科） 已知函数
.
为 R 上的单调函数，则实数
a 的取值范围是
A．[ 1,0) B． (0, ) C． [ 2,0) D． ( , 2)
a
a
2
0 ， a 无解；若
a 2 1
a 0
则有 a 2 0 ，解得 1 a 0 ，综上实数
0
解析：若 f ( x) 在 R 上单调递增，则有
f ( x) 在 R 上单调递减，
a 的取值范围是 [ 1,0) .故选 A.
a 2 1
动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重
要考点 .解决这类问题时，要特别注意：分段函数在 R 上单调递增（减） ，不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减） ，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值 .
（文科） 已知函数 f x
ax 2 1 x (a 2)e
0 x 0
x
为 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范
围是 A. (2,3]
B. (2,
)
C. (
,3] a a a
D. (2,3)
0
2 0，解得 2 2 1
解析：若 f ( x) 在 R 上单调递增，则有
a 3 ；若 f ( x) 在 R 上单
a 0
调递减，则有 a
2 0 ， a 无解，综上实数 a 的取值范围是 (2,3] .
a 2 1
动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重
要考点 .解决这类问题时，要特别注意：分段函数在 R 上单调递增（减） ，不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减） ，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值 .
预测 5. （理科） 设函数
( ) f x
2
x
ln( 1) ，其中 b 0 . （1）若 b b x
12 ，求
f (x)
在 [1,3] 的最小值；（ 2）如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值， （3）是否存在最小的正整数
求实数 b 的取值范围；
N ，使得当 n
N 时，不等式 ln 1, ) ，
n
1 n 3 1 恒成立 .
n n
解析：（ 1）由题意知， f ( x) 的定义域为 (
b
12 时，由 f / ( x) 2x
2 x2 2x 12 0 ，得 x 12
x 1 x 1
2（ x
3 舍去），
[1,2) 时， f / ( x) 0 ，当 x (2,3] 时， f / (x) 0 ，
所以当 x [1,2) 时， f ( x) 单调递减；当 x (2,3] 时， f ( x) 单调递增，
当 x
所以 f (x)min f (2)
4 12ln3 ；
b
x 1
（ 2 ） 由 题 意 f / ( x) 2x
2x2
2 x b x 1
0在(1,
) 有两个不等实根，即
2x2 2x b 0 在 ( 1,
设 g( x)
) 有两个不等实根，
2x
2
2x b ，则
4 8b 0
，解之得 0
g( 1) 0
x2
b 1；
2
（3）对于函数 f x 则 h/ x
ln( x 1) ，令函数 h x
x3
f ( x)
x3 x 2 ln( x 1) ，
3x 2 2x
所以函数 h x 在 [ 0, 即 x
当x [ 0, )时， h / x 0 ， 1 3x3 (x 1) 2 ，
x 1 x 1
) 上单调递增，又 h(0) 0, x (0, ) 时，恒有 h x h(0) 0 ，
2
x
3
ln( x 1) 恒成立 .取 x
显然，存在最小的正整数
恒成立. 1 1
23
n n n
n 1 1 1
N=1 ，使得当 n N 时，不等式 ln 2 3 恒成立 .
n n n
1
n
(0,
) ，则有 ln n
1
动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等
价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法
（文科） 已知函数
.
f x
( )
a
ax
x
3ln （ ）当
x . 1 a 2
时，求函数
f (x)
的最小值；（ ）
2
若 f (x) 在 [2, e] 上单调递增，求实数
a 的取值范围 .
2 x
解析：（ 1）当 a 2 时， f (x)
2x
3ln x ，定义域为
(0,
) .
f ' (x) 2
2 3 2x2 3x 2 ，令 f ' ( x) 0 ，得 x x2 x2 x
2（ x
1 舍去），当 x 变化时， 2
f ( x) ， f ' (x) 的变化情况如下表
:
x
(0, 2)
2
(2,
0
极小值
)
f ' (x)
f ( x)
递减
递增
所以函数 f ( x) 在 x （2）由于 f ' (x)
2 时取得极小值， 同时也是函数在定义域上的最小值 a a
x2
3 ，所以由题意知， f ' (x) a x
a
x2
3 x
f (2) 5 3ln 2. 0 在 [2, e] 上恒成立 .
即 ax
2
3x a x2
0 ，所以 ax2
3x a 0 在 [2, e] 上恒成立，即 a
3x x2 1
.
令 g (x)
23x ，当 x 3 3x ，而 g ( x)
x2 1 ( x2 1)2
'[2, ] e 时 g ' (x) 0 ，所以 g(x) 在 [2, e] 上
2012年高考数学必考考点题型大盘点
