[基础达标]
1.过点(－1||，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：选C.点(－1||，0)在抛物线y2＝x的外部||，过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条．其中两条切线||，一条相交直线(平行x轴)．
11
2.过抛物线y＝x2上的点M(||，)的切线的倾斜角是( )
24
A．30° B．45° C．60° D．90°
11
解析：选B.由题意可设切线方程为y－＝k(x－)||，代入y＝x2||，化简得4x2－4kx＋2k
42
－1＝0||，由Δ＝16k2－16(2k－1)＝0||，得k＝1||，∴切线的倾斜角为45°.
3.抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切||，则a等于( ) 11A. B. 841C. D．1 2
?y＝ax2＋1
解析：选B.由?消去y整理得ax2－x＋1＝0||，由题意a≠0||，Δ＝(－1)2－4a＝
?y＝x
1
0.∴a＝.
4
4.抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标是( )
11A．(||，) B．(1||，1)
2439C．(||，) D．(2||，4)
24
解析：选B.令y＝x2的切线方程为2x－y＋c＝0||，代入y＝x2整理得x2－2x－c＝0.由Δ＝(－2)2＋4c＝0||，∴c＝－1||，∴x＝1||，y＝1.切点(1||，1)到直线2x－y－4＝0的距离最小．
5.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A||，B两点||，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|||，则k＝( )
1A. 32C. 3
2 322D. 3B．
?y＝k（x＋2），
解析：选D.设A(x1||，y1)||，B(x2||，y2)||，易知x1>0||，x2>0||，y1>0||，y2>0||，由?2
?y＝8x，
得
k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0||， ∴x1x2＝4||，①
p
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2||，
2p
|FB|＝x2＋＝x2＋2||，且|FA|＝2|FB|||，
2
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∴x1＝2x2＋2.② 由①②得x2＝1||，
22
.故选D. 3
6.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．
解析：设切线为4x＋3y＋C＝0||，代入y＝－x2整理得3x2－4x－C＝0||，由Δ＝(－4)2＋12C＝0得||，
48＋3428
C＝－||，故最小距离为22＝. 34＋31528答案： 15
7.设已知抛物线C的顶点为坐标原点||，焦点为F(1||，0)||，直线l与抛物线C相交于A||，B两点．若AB的中点为(2||，2)||，则直线l的方程为________．
解析：由题意知C的方程为y2＝4x||，设A(x1||，y1)||，B(x2||，y2)||，则y2y21＝4x1||，2＝4x2||，
44
两式作差||，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)||，kAB＝＝＝1||，又直线l过(2||，2)||，故l的
y1＋y24
∴B(1||，22)||，代入y＝k(x＋2)||，得k＝
方程为y＝x.
答案：y＝x
8.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上||，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n||，则n＝________．
解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴||，又过焦点与x轴的夹角为30°的直线有两条||，故符合题意的正三角形有两个．
答案：2
3
9.已知顶点在原点||，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y＝x＋所得的弦长|P1P2|＝
2
42||，求此抛物线的方程．
3??y＝x＋2，
解：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)||，把直线方程与抛物线方程联立得?消
??y2＝－2px，
9
元得x2＋(3＋2p)x＋＝0①||，判别式Δ＝(3＋2p)2－9＝4p2＋12p>0||，解得p>0或p<－3(舍)||，
4
9
设P1(x1||，y1)||，P2(x2||，y2)||，则①中由根与系数的关系得x1＋x2＝－(3＋2p)||，x1·x2＝
4||，代入弦长公式得1＋1·（3＋2p）2－9＝42||，
解得p＝1或p＝－4(舍)||，
把p＝1代入抛物线方程y2＝－2px(p>0)中||，得y2＝－2x. 综上||，所求抛物线方程为y2＝－2x.
10.A、B为抛物线y2＝2px(p>0)上两点||，O为原点||，若OA⊥OB||，求证：直线AB过定点．
证明：设A(x1||，y1)||，B(x2||，y2)||， ∵OA⊥OB?x1x2＋y1y2＝0||，
22
A||，B在抛物线上?y21y2＝4px1x2||，
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y2＝－4p2?y1·∴?||， 2
x·x＝4p12?
2plAB：y－y1＝(x－x1)||，
y1＋y22py21
∴y－y1＝(x－)||，
2py1＋y2
2py21
∴y＝·x－＋y1
y1＋y2y1＋y22p4p2＝·x－ y1＋y2y1＋y22p＝(x－2p)||， y1＋y2∴直线AB过定点(2p||，0)．
[能力提升]
1.已知抛物线y2＝2px(p>0)与圆(x－a)2＋y2＝r2(a>0)有且只有一个公共点||，则( ) A．r＝a＝p B．r＝a≤p C．r 解析：选B.当r 2.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A||，B两点||，若该抛物线上存在点C||，使得∠ACB为直角||，则a的取值范围为________． 解析：设C(x||，x2)||，由题意可取A(－a||，a)||，B(a||，a)||， →→ 则CA＝(－a－x||，a－x2)||，CB＝(a－x||，a－x2)||， π→→ 由于∠ACB＝||，所以CA·CB＝(－a－x)(a－x)＋(a－x2)2＝0||， 2 整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0||， 即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0||， －（1－2a）≥0， ? 所以?a－a≥0， ?（1－2a）－4（a－a）>0， 2 2 2 解得a≥1. 答案：[1||，＋∞) 3.已知过点A(－4||，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B||，C两点||，当直 1→→ 线l的斜率是时||，AC＝4AB. 2 (1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b||，求b的取值范围． 11 解：(1)设B(x1||，y1)||，C(x2||，y2)||，当直线l的斜率是时||，l的方程为y＝(x＋4)||， 22 即x＝2y－4||， 第3页/共5页
数学北师大版选修1-1 第二章2.2 抛物线的简单性质(二) 作业1
