Born to win
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设a1?xcosx?1,a2?低阶到高阶的排序是
??xln1?3x,a3?3x?1?1.当x?0?时，以上3个无穷小量按照从
??（A）a1,a2,a3 （B）a2,a3,a1 （C）a2,a1,a3 （D）a3,a2,a1
【答案】（B） 【解析】当x?0时
?1a1?xcosx?1~?x2
2a2?xln1?x~x
???3?56a3??1?x??1~131x 3故从低阶到高级顺序：a2,a3,a1，选B
??2?x?1?,x?1（2）已知函数f?x???，则f?x?的一个原函数是（ ）
??lnx,x?122????x?1?,x?1??x?1?,x?1?A?F?x????B?F?x??????x?lnx?1?,x?1?x?lnx?1??1,x?122??x?1,x?1x?1??,x?1?????C?F?x????D?F?x????x?lnx?1??1,x?1?x?lnx?1??1,x?1??
【答案】（D）
【解析】由原函数必连续，故A，C排除。又x?1时，?x?lnx?1??1?'?lnx，故选Ｄ
1??111xedx,②?exdx的敛散性为 （3）反常积分①?22??x0x0（A）①收敛②收敛 （B）①收敛②发散
（C）①收敛②收敛 （D）①发散②发散 【答案】（B）
1xedx??ex|0【解析】??????0?1??1 收敛 2??x011全国统一服务热线：400—668—2155
1
精勤求学 自强不息
Born to win!
???01x??edx??ex|???? 发散 0??1?e2x11??（4）设函数f(x)在???,???内连续，其导函数的图形如图所示，则
（A）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点 （B）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点 （C）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点 （D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点
【答案】（A）
【解析】由f'?x?两个零点左右都反号，故极值点有两个， 又拐点是f'?x?的极值点，故拐点有两个。选Ａ
''(5)设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)?0(i?1,2)，若两条曲线y?fi(x)(i?1,2)在点
(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，且在该点处曲线y?f1(x)的曲率大于曲率y?f2(x)的曲率，则在x0的
某个邻域内，有
(A)f1(x)?f2(x)?g(x) (B)f2(x)?f1(x)?g(x) (C)f1(x)?g(x)?f2(x) (D)f2(x)?g(x)?f1(x)【答案】 【解析】
ex（6）已知函数f(x,y)?，则
x?y(A)fx'?fy'?0(C)fx'?fy'?f【答案】（D）
2 (B)fx'?fy'?0(D)fx'?fy'?f
2 全国统一服务热线：400—668—2155
Born to win
ex?x?y??exexex?x?y?ex'''【解析】f?，fy?故fx?fy???f 222?x?y??x?y??x?y??x?y?'x（7）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）AT与BT相似 （B）A?1与B?1相似 （C）A?AT与B?BT相似 （D）A?A与B?B相似 【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P?1AP?B，则
?1?1(1) (P?1AP)T?BT?PTAT(PT)?1?BT?AT~BT,故（A）不选；(2) (P?1AP)?1?B?1?P?1A?1P?B?1?A?1~B?1，故（B）不选；
(3)P?1(A?A?1)P?P?1AP?P?1A?1P?B?B?1?A?A?1~B?B?1,故（D）不选；此外，在（C）中，对于P(A?A)P?PAP?PAP，若P?1AP=B，则PA(P)而PAP未必等于B，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。
222（8）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正负惯性指数分别为1,2，则
?1T?1?1TTTT?1?BT，
?1TT（ ） （A）a?1 （B）a??2 （C）?2?a?1
（D）a?1或a??2 【答案】（C）
【解析】考虑特殊值法，当a?0时，f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3，
?011???其矩阵为?101?，由此计算出特征值为2,?1,?1，满足题目已知条件，故a?0成立，因此（C）为
?110???正确选项。
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
x3?arctan?1?x2?的斜渐近线方程为 （9） 曲线y?21?x
全国统一服务热线：400—668—2155
3
精勤求学 自强不息
Born to win!
【答案】y?x??2
?x2yarctan?1?x2???【解析】k?lim?lim???1 ?x??xx???1?x2x???x32??b?lim?y?x??lim??x?arctan1?x?x??x???1?x2??
???x2??lim??arctan1?x??x??1?x2??2????故渐近线为y?x?（10）极限limn???2
1?12n?sin?2sin?L?nsin?? 2?n?nnn?【答案】sin1?cos1
n1i1ii1?limsin?xsinxdx 【解析】由I?lim?isin?2?0n??n??nnnnni?1i?1n??xcosx|10??cosxdx?sin1?cos1
01（11）以y?x?e和y?x为特解的一阶非齐次线性微分方程为 【答案】y??y?2x?x
【解析】令微分方程为y?P?x?y?q?x?
2??2x?P?x?x?q?x?则? x2x??2x?e?P?x?x?e?q?x?22x2????故P?x???1,q?x??2x?x
2（12）已知函数f?x?在???,???上连续，且f?x???x?1??2 【答案】2?5
【解析】由f?x??2?x?1??2f?x??2?x?f?x???2
'2?x0f?t?dt，则当n?2时，f?n??0??
2则f?0??1,f?0??4
'则f''?x??2?1?f'?x??，故f''?x??10?2?5
4 4 全国统一服务热线：400—668—2155
Born to win
f'''?x??2f''?x?，故f'''?x??2f''?0??22?5
以此类推，得
f?n??x??2n?1?5，故f'''?x??2f''?0??22?5
（13）已知动点P在曲线y?x上运动，记坐标原点与点P间的距离为l。若点P的横坐标时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点?1,1?时，l对时间的变化率是_________ 【答案】22v0
【解析】令P?x?t?,y?t??，则y?t??x?t?
33又l?x2?t??y2?t?
dlx?t?x'?t??y?t?y'?t?则 ?22dtx?t??y?t?''2'又x?t??v0,y?t??3x?t?x?t??3v0
则
dlv0?3v0??22v0 dt2?a?1?1??110?????（14）设矩阵??1a?1?与?0?11?等价，则a?
??1?1a??101?????【答案】2.
?a?1?1??110?????【解析】A???1a?1?,B??0?11?，由A与B等价，可得r(A)?r(B)，因为
??1?1a??101??????110??110?????B??0?11?初等行变换?0?11??r(B)?2,故r(A)?2?A?0?a?2或-1,当a??1
?101??000?????时，有r(A)?1，这与r(A)?2矛盾，故a?2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
（15）（本题满分10分）求lim?cos2x?2xsinx?x4
x?01【解析】lim?cos2x?2xsinx?
x?01x4全国统一服务热线：400—668—2155
5
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 - 图文
