【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综合 如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、
AB于D、F点，BD＝62，AE⊥BC于E，求AE的长．
解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．
解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝62，∴∠BAD＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，62∴AE＝DE.由勾股定理得AE＋DE＝AD，∴2AE＝(62)，∴AE＝＝6.
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方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．
探究点二：勾股定理与图形的面积
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形
AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示
再写一种证明勾股定理的方法吗？
解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．
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解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，
22整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；
方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD1111
＋S△BCD，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2
2222＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
三、板书设计 1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2．勾股定理的应用 3．勾股定理与图形的面积
课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.
第2课时 勾股定理的实际应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点) 2．勾股定理的正确使用．(难点)
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一、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理在实际生活中的应用 【类型一】 勾股定理在实际问题中的简单应用
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳
子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、
AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝BC2－AC2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．
【类型二】 含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区
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域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．
解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根据直角三角形1
30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，从而判断出A市受沙尘暴影
2响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，11
∴AC＝AB＝×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙尘暴影响，设从D点开
22始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD＝AD2－AC2＝2002－1502＝507(km)，∴受影响的距离为2CD＝1007km，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．
方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．
探究点二：勾股定理在几何图形中的应用 【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
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如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝10＋（20＋5）＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
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方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
【类型二】 运用勾股定理与方程解决有关计算问题 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△
MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
2019年湘教版数学八年级下册全册教案(含教学反思)
