中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.
第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点) 2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．
二、合作探究
探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是________cm，
这个三角形的面积是________cm2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，11
所以BD＝2cm，S△ABC＝AC·BD＝×4×2＝4(cm2)．故答案为2，4.
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方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．
探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
1
如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC2
的度数．
解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论． 1
解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴
2∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．
探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用
如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；
该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．
解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．
解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠
BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.1
∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．又∵BD＝AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD2－CD＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间2040
为＝2(h)，从A处到D处的时间为＝4(h)．∴轮船到达C处的时间为13时101030分，到达D处的时间为15时30分．
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．
三、板书设计
1．含30°锐角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；
(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.
1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时 勾股定理
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点) 2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点) 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究 探究点一：勾股定理
【类型一】 直接运用勾股定理
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据
CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB－BC＝12(cm)；
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(2)∵S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
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11AC·BC60
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝(cm)．
22AB13
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长． 解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论． 解：此题应分两种情况：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2
＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
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(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2
＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．
2019年湘教版数学八年级下册全册教案(含教学反思)
