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例9用0,1,3,5,7,9组成没有重复数字的自然数， （1）六位数有多少？ （2）六位奇数有多少？ 解：
（1）六位数的首位数字不允许为0，在1,3,5，，79中任选一个作为六位数的首位数字共有5种选法，当在1,3,5，，79中选定一个作为六位数的首位数字之后，还剩下四个数，把0添加到这
5?5!种排法，根据计数的乘法原理，六位数共四个数中，将这五个数排到后五位上去，共有A55?5?5!?600个. 有5?A5（2）六位奇数的首位数字与末位数字均不允许为0，先排首位数字，其次排末位数字，最后再排中间四位数。类似于上面（1）的分析方法，首位数字共有5种排法，末位数字共有4种
4?4!种排法，根据计数的乘法原理，六位奇数共有 排法，中间四位数共有A45?4?4!?480个.
mn?m?Cn. 例10求证：Cn证明：左边?n!n!n!，右边???左边.
m!?n?m?!m!n?m!n?m!n?n?m!????????n时，可以使用这个组合恒等式来简化计算. 2说明：这是最常用的一个组合恒等式，当m?例11-13为理工类考题，文史财经类考生不需要复习，在此不作讲解。 例14当n?Z?，5n?13n除以3的余数是（） （A）0. （B）0或1. （C）0或2 （D）2. 解：选（C）
分析1：特例分析法，当n?1时，51?131?18?6?3，51?131除以3的余数是0. 当n?2时，52?132?25?169?194?64?3?2，
52?132除以3的余数是2.
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分析2：一般分析法，
当n为正奇数时，5n?13n除以3的余数是0； 当n为正偶数时，5n?13n除以3的余数是2. （1）
51?131??6?1???12?1??2?3?4?3???1?1??2?3?4?3?6?3.
51?131除以3的余数是0.
53?133??6?1???12?1?
?63?3?62?1?3?6?12?13?123?3?122?1?3?12?12?13 ?63?3?62?1?3?6?12?123?3?122?1?3?12?12， 53?133除以3的余数是0.
设n?2k?1，k?Z?，5n?13n?52k?1?132k?1??6?1?m2k?133??????????12?1?2k?1，
?2k?1??mmC2??1?，m?0,1,2,...,2k?1，当m?2k?1时， k?16?2k?1??mmC2??1?均可被3整除， k?16m?m而当m?2k?1时，C2k?162k?1??m??1?m???1?2k?1??1不能被3整除，
也就是说，将?6?1?2k?1展开为多项式之后，除了最后一项不能被3整除之外，其余各项均
能被3整除，且最后的余数为?1；
?m类似地，C2k?1122k?1??m?2k?1??mm，当m?2k?1时， ?1m?C2k?112?2k?1??mm均可被3整除， C212k?1?m而当m?2k?1时，C212k?12k?1??m?1不能被3整除，
也就是说，将?12?1?2k?1展开为多项式之后，除了最后一项不能被3整除之外，其余各项
均能被3整除，且最后的余数为1；
综上所述，余数?1?余数1?0，
故当n为正奇数时，5n?13n除以3的余数是0；
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利用类似地分析方法，还可以证明：当n为正偶数时，5n?13n除以3的余数是2. ......
例15 在一次读书活动中，一人要从5本不同的科技书、7本不同的文艺书中任意选取一本书，那么不同的选法有（ ）
A．5种 B．7种 C．12种 D．35种 答案：C．
分析：本题是一个与分类有关的问题，选一本书需要从科技书、文艺书两类中选，从任何一类书中选出一本就完成了选书这件事，因此，问题可以用分类计数原理来解。
读书活动中，任选一本书的方法分为两类：第一类是从5本科技书中任选一本，有5种方法；第二类是从文艺书中任选一本，有7种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法种数：
N?m1?m2?5?7?12.
例16 加工一种零件分三道工序，做第一道工序的有3人，做第二工序的有4人，做第三道工序的有2人。每道工序各选出一人来完成零件加工任务，不同的选法有（ ）
A．9种 B．12种 C．6种 D．24种 答案：D．
分析：本题是一个与分步骤有关的问题，完成一件零件加工任务需要分别从第一道工序、第二道工序、第三道工序中各选一人，三道工序都完成才完成了零件加工任务，因此，问题可以用分步（骤）计数原理来解。
完成一件零件加工任务需要分为三个步骤：第一步从会做第一道工序的3人中选一人来做，有3种方法；第二步从会做第二道工序的4人中选一人来做，有4种方法；第三步从会做第三道工序的2人中选一人来做，有2种方法。根据分步计数原理，得到完成零件加工任务的方法种数：N?m1?m2?m3?3?4?2?24.
注意：分类计数原理与分步计数原理的区别就在于是分类还是分步。如果与分类有关，就
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高升专：第成考高起点数学(文) 第28讲讲义
