第一章综合素质能力测试
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)
1．在△ABC中，若AB＝3－1，BC＝3＋1，AC＝6，则B等于( ) A．30° B．45° C．60° D．120°
2．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝2，那么cosB＝( ) 310310A. B．－
1010
C.5 5
D．－5 5
3．在△ABC中，a＝23，b＝22，B＝45°，则A等于( ) A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
6
4．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是( )
2
A．30°或150° B．15°或75° C．30° D．15°
5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为( ) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
6．(2012·天津理，6)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )
77724A. B．－ C．± D. 252525257．在△ABC中，a＝2，c＝1，则角C的取值范围是( )
πππ
A．(0，) B．(，)
263πππC．(，) D．(0，]
626
8．已知钝角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是( ) A．1 C．1 9．关于x的方程x－xcosA·cosB－cos＝0有一个根为1，则此三角形为( ) 2 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 10．在△ABC中，C＝90°，A＝75°，CD⊥AB，垂足D，则＝( ) 1A. 21C. 4 11．△ABC三 1B. 3D.3 2 2 2 CCDAB 边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是( ) A．1:1 B．1:2 C．1:4 D．4:3 12．(2011·山东苍山县高二期中)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货 轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A．20(2＋6)海里/小时 B．20(6－2)海里/小时 C．20(3＋6)海里/小时 D．20(6－3)海里/小时 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为，则此三角形面积为__________． 14．在△ABC中，a＝50，B＝30°，C＝120°，那么BC边上的高的长度是__________． 15．在锐角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是__________． 1 16．等腰△ABC顶角的余弦为，则底角的正弦值为________． 3 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC中，已知a＝6，A＝60°，b－c＝3－1，求b，c和B，C. 18．(本题满分12分)(2012·浙江文，18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 19．(本题满分12分)生活中，我们可以见到很多三角形结构的物体，而我们自己有时也制作那样的物体．如果现在有一足够长的木杆子，用它来制作一个三角形物体，要求三角形物体的三边为连续正整数，最大角是钝角，那么该如何去截木杆？ 2B＋C20．(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，4sin－cos2A2 7＝. 2 (1)求A的度数； (2)若a＝3，b＋c＝3，求b与c的值． 21．(本题满分12分)(2010～2011·湖南邵阳二中期中)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，BC＝7，求 (1)AC的长． (2)△ABC的面积． cosC3a－c22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c且＝， cosBb(1)求sinB. (2)若b＝42，a＝c，求△ABC的面积． 详解答案 1[答案] C AB2＋BC2－AC21 [解析] cosB＝＝，∴B＝60°. 2AB·BC2 2[答案] D 222 [解析] BC＝AC＋AB－2AC·ABcosA ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC＝10， AB2＋BC2－AC25cosB＝＝－. 2AB·BC5 3[答案] C ab23223 [解析] ∵＝，∴＝，∴sinA＝，∴A＝60°或120°.∵ sinAsinBsinAsin45°2 asinB 4[答案] A 61 [解析] 由题意：sinB＋cosB＝.两边平方得sin2B＝，设顶角为A，则A＝180°－ 22 2B. 1 ∴sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝， 2 ∴A＝30°或150°. 5[答案] B [解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β. 6[答案] A bc4 [解析] 由＝及8b＝5c，c＝2B得，5csin2B＝8csinB，∴cosB＝，∴cosCsinBsinC5 72 ＝cos2B＝2cosB－1＝. 25 7[答案] D [解析] ∵a－c b2＋313 ∴cosC＝＝(b＋)， 4b4b13 ∵(b＋)在(1，3]上单调递减，在[3，3)上单调递增， 4b133π∴cosC≥(3＋)＝，∴0 [点评] 平时解题后多反思一下，才有助于思维过程的优化，思维能力的提高．本题中，注意到△ABC只知道两边长a＝2，c＝1，△ABC是变动的，利用图形在其变动过程中考察角C的变化情况会更简捷．如图作边BC＝a＝2，以B为圆心，1为半径作⊙B，则C可为⊙B上(除去 π 直线BC与⊙B的交点)的任意一点，显然c>0，且当CA与⊙B相切时，角C最大，∴0 6 8[答案] C ??3 [解析] 当x为最大边时?，∴13 ??x>3＋2 >x＋2 ，∴1 [点评] ∵此三角形为钝角三角形，三角形最多可有一个钝角，故当x为最大边时，必有x>3，当3为最大边时，必有x<3，这与三角形为锐角三角形的讨论是有区别的． 9[答案] A 2 2 2 [解析] 由题设，1－cosAcosB－cos＝0. 2 1－cosC2C∴sin＝cosAcosB，∴＝cosAcosB. 22 ∴1＋cos(A＋B)＝2cosAcosB，∴cos(A－B)＝1， ∵A，B是三角形内角，∴A－B＝0即A＝B. 10[答案] C [解析] 如图，∵C＝90°，A＝75°，∴B＝15°，cot75°＝，cot15°＝， 2 CADCDBDCD∴cot75°＋cot15°＝＋ADBDAB＝， CDCDCD ∵cot75°＋cot15°＝tan15°＋tan75° ＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°) 331－1＋ 33＝＋＝(2－3)＋(2＋3)＝4， 331＋1－ 33CD1∴＝. AB4 [点评] 因为△ABC是直角三角形，又CD⊥AB，因此应充分利用直角三角形的边角关系以简化运算．在Rt△ACD中，sin75°＝，∴CD＝AC·sin75°， 在Rt△ABC中，cos75°＝，∴AB＝∴＝ CDACACAB， cos75° ACCDAC·sin75° ＝sin75°cos75° ABACcos75°111＝sin150°＝sin30°＝. 22411[答案] B [解析] 不妨设a，b，c长分别为3,4,6，∴较大锐角为AC边对的角B.由平几知识知， CDBC31 BD分对边AC的比＝＝＝. ADAB621 BC·BD·sin∠DBCS△BCD2BCCD1∴＝＝＝＝. S△ABD1ABAD2 AB·BD·sin∠ABD2 [点评] 审题时要注意细节． 本题改为求“它的较大角的平分线分三角形成两部分的面积比”，则答案为D. 12[答案] B [解析] 由题意可知 ∠SMN＝15°＋30°＝45°，MS＝20，∠MNS＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每 1 小时航行x海里，则MN＝x， 2
吉林省长白山高中数学 第一章综合素质能力检测 新人教A版必修5
