第四章概率论习题__奇数.doc
1 某批产品共有M件，其中正品N件（0?N?M）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n次（n?1）。试求这n次中抽到正品的平均次数。 解 每次抽到正品的概率为：
NN，放回抽取，抽取n次，抽到正品的平均次数为：n MM1fx?,x?R ，这时称服从标准柯西分布。??3设随机变量X的概率密度为X??1?x2?试证X的数学期望不存在。 解 由于：
?????xf(x)dx?2???0x1??dx?ln(1?x2)|0??? 2?(1?x)?所以X的数学期望不存在。
5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p（0?p?1）。?n表示到时刻n为止质点向右移动的次数，Sn表示在时刻n时质点的位置，n?1。求?n与Sn的期望。
解 每次向右移动的概率为p，到时刻n为止质点向右移动的平均次数，即?n的期望为：
E(?n)?np
时刻n质点的位置Sn的期望为：E(Sn)?np?n(1?p)?n(2p?1) 7 某信号时间长短T（以秒计）满足：P?T?t??1?te?1?e?t?，t?0。用两种方法求出2E?T?。
解 方法 1：由于P(T?0)?1，所以T为非负随机变量。于是有：
E(T)??(1?F(t))dt??0????0P(T?t)dt????01?t3e(1?e?t)dt? 24方法二：由于P(T?0)?1，所以，可以求出T的概率函数：
?0,t?0?f(t)??1?t ?te(1?2e),t?0??2于是E(t)??????tf(t)dt??tf(t)dt?0??3 49已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q，现随机的将此棍子截成两段。
（1）求包含Q点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q点，则认为Q包含在较短的一截内）；
（2）当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？
解 设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则：
?t,q?t?1?T??1?t,0?t?q，q?t?1
?min(q,1?q),t?q?于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：
E(T)??Tdx??(1?t)dt??tdt?00q1q11?q?q2 2500为正整数，k?1）。将每组ｋ人的k11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（Ｉ）每个人化验一次；（II）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设
血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？ 解 (I)每个人化验一次，需要化验500次 （II）分成k组，对每一组进行化验一共化验
500k次，每组化验为阳性的概率为：1?0.7，k若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：
500(1?(1?0.7k)k)。 k将（II）的次数减去（I）的次数，得：于是：
5001(1?(1?0.7k)k)?500?500(?0.7k) kk11?0.7k?0时，第二种方法检验的次数少一些；当?0.7k?0时，第一种方法检验的kk1k次数少一些；当?0.7?0时，二种方法检验的次数一样多。
k13、某电子监视器的圆形屏幕半径为r（r?0），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。设
当
Ａ的平面直角坐标为?X,Y?。（１）求E(X)与E(Y)；（２）求点Ａ与屏幕中心位置?0,0?的平均距离。 解 由题意知：
?1?2?2,x,y在圆内,?r?x?r???,?r?y?r，fX(x)???r，fY(x)???r f(x,y)???r2????0，其他值?0，其他值?0，其他值（1） 计算可得E(X)?E(Y)??r?rx2dx?0 ?r22（2） A的位置是?x,y?，距中心位置（0，0）的距离是：x?y，于是所求的平均距离为：
E(X2?Y2)?2x?y2?r2??x2?y212r dxdy?2?r315、接第13题，求当横坐标为
3r时，纵坐标Y的条件期望。 2?12222f(x,y)?,?r?x?y?r?x解 fY|X(y|x)? ??2rfX(x)??0，其他值3r,y)?1,?r?y?r3r?2fY|X(y|)???2r22 23rfX()??0，其他值2f(于是：
r3r1E(Y|X?)??2rydy?0
?222r17、某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性
相同。第一次考试，若考生成绩为X，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩Y不低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了Z次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。 （1）求最终的平均成绩E?Y?；（2）求E?Z?。 解：由题意知 P(X?k)?1，其中k?0,1,2,10。于是 11,11
P(Y?k,X?i)?0,i?k?1,P(Y?k,X?i)?P(X?i)P(Y?k|X?i)?从而P(Y?k)?11?,i?0,1,1111?i,k
?P(Y?k,X?i)??i?0kk11? 1111?ii?0k于是：E(Y)???kk?0i?010101?7.5 11?i(11?i)ik?1又P(Z?k)?? k?111i?1从而E(Z)??P(Z?k)k??(11?i)?3.02
k?1i?1?101
改后第四章概率论习题_奇数答案1汇编
