第3讲 圆锥曲线中的热点问题
高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.
真 题 感 悟
→→2
1.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m4＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
??－x1＝2x2，→→
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得?即x1＝－2x2，y1＝3－
?1－y1＝2（y2－1），?
x2
4x22
＋（3－2y2）＝m，41322
2y2.因为点A，B在椭圆上，所以2得y2＝m＋，所以x2＝m－(3－2y2)
44x22
＋y2＝m，4
?????
2
125912
＝－m＋m－＝－(m－5)＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为
42442. 答案 5
2.(2018·北京卷)已知抛物线C：y＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围；
11→→→→
(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.
2
λμ(1)解 因为抛物线y＝2px过点(1，2)， 所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y＝4x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
??y＝4x，22由?得kx＋(2k－4)x＋1＝0. ?y＝kx＋1?
2
2
2
依题意Δ＝(2k－4)－4×k×1>0， 解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0 所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 2k－41 由(1)知x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 22 kk直线PA的方程为y－2＝ y1－2 (x－1).令x＝0， x1－1 －y1＋2－kx1＋1 得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2. x1－1x1－1同理得点N的纵坐标为yN＝ －kx2＋1 ＋2. x2－1 →→→→ 由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN. 1111x1－1x2－1所以＋＝＋＝＋ λμ1－yM1－yN（k－1）x1（k－1）x22k－4＋2kk12x1x2－（x1＋x2）1 ＝·＝·＝2. k－1x1x2k－11 2 2 k2 11 所以＋＝2为定值. λμx2y23?? 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3?－1，?， ab2??P4?1， ? ?3? ?中恰有三点在椭圆C上. 2? (1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点. 1113 (1)解 由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由2＋2>2＋2知，椭圆Caba4b不经过点P1， 所以点P2在椭圆C上. 1??b＝1，??a＝4，x因此?解得?故C的方程为＋y＝1. 4?b＝1.13? ??a＋4b＝1， 2 2 2 2 2 2 2 (2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴. 设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)， yA－1－yA－1－2 k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2， mmm此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1). 将y＝kx＋m代入＋y＝1得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0. 4由题设可知Δ＝16(4k－m＋1)>0. 8km4m－4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 4k＋14k＋1则k1＋k2＝ 2 2 2 x2 2222 y1－1y2－1kx1＋m－1kx2＋m－1 ＋＝＋ x1x2x1x2 x1x2 2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2） ＝. 由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 4m－4－8km∴(2k＋1)·2＋(m－1)·2＝0. 4k＋14k＋1 解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m>－1时，Δ>0， ∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2). 所以l过定点(2，－1). 考 点 整 合 1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解. 温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响. 2.定点、定值问题 (1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). (2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐 2 标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 3.存在性问题的解题步骤： (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)得出结论. 热点一 圆锥曲线中的最值、范围 x2y23 【例1】 (2018·西安质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋3yab2 －1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为3. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围. 1 解 (1)原点到直线x＋3y－1＝0的距离为， 2 ?1??3?2 由题得??＋??＝b(b>0)，解得b＝1. ?2??2? c2b23 又e＝2＝1－2＝，得a＝2. aa4 2 22 所以椭圆C的方程为＋y＝1. 4 (2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12. 当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2 2 x＝my＋4，??2 22 联立?x消去x得(m＋4)y＋8my＋12＝0. 2 ＋y＝1，??4 由Δ＝64m－48(m＋4)>0，得m>12， 所以y1y2＝ 12 . m＋4 22 2 2 λ＝|MA|·|MB|＝m2＋1|y1|·m2＋1|y2| 2 3?12（m＋1）?＝(m＋1)|y1y2|＝＝12?1－2?. 2 m＋4?m＋4? 2 由m>12，得0< 2 3339 <，所以<λ<12. m＋4164 2 39?39?综上可得：<λ≤12，即λ∈?，12?. 4?4? 探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练1】 (2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在 2 C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 4 2 y2 ?12??12?(1)证明 设P(x0，y0)，A?y1，y1?，B?y2，y2?. ?4??4? 12 y＋x024y＋y0??＝4· 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程?， ?2?2?即y－2y0y＋8x0－y0＝0的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴. (2)解 由(1)可知? ?y1＋y2＝2y0，? 2 2 2 ??y1y2＝8x0－y0， 12232 所以|PM|＝(y1＋y2)－x0＝y0－3x0， 84|y1－y2|＝22（y0－4x0）. 1 因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2| 23223＝(y0－4x0). 42因为x＋＝1(x0<0)， 4 所以y0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4，5]， 1510?? 因此，△PAB面积的取值范围是?62，?. 4??热点二 定点、定值问题 考法1 圆锥曲线中的定值 2 2 2 0 2 y20
高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题学案（理）
