2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．x?3y?0
15．?8 3 16．390
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数
y?Asin(?x??)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x?因此，函数f(x)的最小正周期为π．
π??2sin?2x??．
4??（Ⅱ）解法一：因为f(x)?π???π3π??3π3π?2sin?2x??在区间?，?上为增函数，在区间?，?4???88??84?上为减函数，又f?π?π??3π??3π??3ππ??0f?2f?2sin???2cos??1，，， ???????884244?????????π3π???故函数f(x)在区间?，?上的最大值为2，最小值为?1． 84解法二：作函数f(x)?
π???π9π?2sin?2x??在长度为一个周期的区间?，?上的图象如下：
484????y 2 ???O ??????????????x
?2 由图象得函数f(x)在区间?，?上的最大值为2，最小值为f????1．
?84??4?18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础
知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为
2C321C42黑球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且P(A)?2?，P(B)?2?．
C42C65?π3π??3π?故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)?P(A·)P(B)?121??． 255（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，
1211C3C32C2·C4C414且P(C)?2，． P(D)?·?·?222C4C65C4C615417??． 1551517（Ⅲ）解：?可能的取值为01，（Ⅱ）得P(??0)?，P(??1)?， ，，2，3．由（Ⅰ）
515故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C?D)?P(C)?P(D)?1C3311P(??3)?2·2?．从而P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?．
10C4C630?的分布列为
? P 0 1 2 3 3 1017317?的数学期望E??0??1??2??3??．
515103061 57 151 3019．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥P?ABCD中，因PA?底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA?CD．
∵AC?CD，PAAC?A，∴CD?平面PAC．
而AE?平面PAC，∴CD?AE．
（Ⅱ）证明：由PA?AB?BC，?ABC?60°，可得AC?PA． ∵E是PC的中点，∴AE?PC．
由（Ⅰ）知，AE?CD，且PCCD?C，所以AE?平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE?PD．
∵PA?底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB?AD，∴AB?PD． 又∵ABAE?A，综上得PD?平面ABE．
（Ⅲ）解法一：过点A作AM?PD，垂足为M，连结EM．则（Ⅱ）知，AE?平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM?PD． 因此?AME是二面角A?PD?C的平面角． 由已知，得?CAD?30°．设AC?a， 可得PA?a，AD?23212a，PD?a，AE?a． 332在Rt△ADP中，∵AM?PD，∴AM·PD?PA·AD，
则AM?PA·AD?PDa·23a273?a． 721a3AE14?． AM414． 4P
M E D
B
C
在Rt△AEM中，sinAME?A 所以二面角A?PD?C的大小是arcsin解法二：由题设PA?底面ABCD，PA?平面PAD，则平面PAD?平面ACD，交线为AD．
过点C作CF?AD，垂足为F，故CF?平面PAD．过点F作FM?PD，垂足为M，连结CM，故CM?PD．因此?CMP是二面角A?PD?C的平面角． 由已知，可得?CAD?30°，设AC?a， 可得PA?a，AD?232113a，PD?a，CF?a，FD?a． 3326∵△FMD∽△PAD，∴FMFD． ?PAPDP
E 3a·aFD·PA76??a． 于是，FM?PD1421a3M F D C
A B
1aCF2??7． 在Rt△CMF中，tanCMF?FM7a14所以二面角A?PD?C的大小是arctan7．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2x4，， f(2)?2x?152(x2?1)?2x·2x2?2x26??又f?(x)?，． f(2)??(x2?1)2(x2?1)225所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?即6x?2y?32?0．
46??(x?2)， 5252a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)?2(x?a)(ax?1)?（Ⅱ）解：f?(x)?． 22(x?1)(x2?1)2由于a?0，以下分两种情况讨论． （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??化情况如下表：
1，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变ax 1???∞，???a?? 1 a?1??，a?? ?a?a (a，?∞) f?(x) ? ? 0 ? 0 ? f(x) ?所以f(x)在区间??∞，??极小值 极大值 1??1??，a，内为减函数，在区间(a，?∞)???内为增函数．
a?a???1?f?????a2， ?a?函数f(x)在x1??函数f(x)在x2?1?1?处取得极小值f???，且a?a?1处取得极大值f(a)，且f(a)?1． a1（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化
a情况如下表： x ??∞，a? a 1??a，??? a??1? a?1???，+∞??a? f?(x) ? 0 ? 0 ? f(x) 极大值 极小值 ?所以f(x)在区间(?∞，a)，??，+∞?内为增函数，在区间?a，函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x2???1?a????1??内为减函数． a?1处取得极小值a?1?f???，且?a??1?f?????a2． ?a?21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
222（Ⅰ）解法一：a2?2????(2??)2???2，
a3??(?2?22)??3?(2??)22?2?3?23， a4??(2?3?23)??4?(2??)23?3?4?24．
nn由此可猜想出数列?an?的通项公式为an?(n?1)??2．
以下用数学归纳法证明．
（1）当n?1时，a1?2，等式成立．
kk（2）假设当n?k时等式成立，即ak?(k?1)??2，
k?1kkkk?1k?1k那么ak?1??a1???(2??)2??(k?1)???2???2??2
?[(k?1)?1]?k?1?2k?1．
nn这就是说，当n?k?1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an?(n?1)??2对
任何n?N都成立．
n?1n?解法二：由an?1??an???(2??)2(n?N)，??0，
??2?可得n?1???????an?1n?1?2??n????1， ????annnn?an?2??an?2???所以?n????为等差数列，其公差为1，首项为0，故所以数列?an?????n?1，
??????????n??nn的通项公式为an?(n?1)??2． 234（Ⅱ）解：设Tn???2??3???(n?2)?n?1?(n?1)?n， ①
?Tn??3?2?4?3?5??(n?2)?n?(n?1)?n?1 ②
当??1时，①式减去②式， 得(1??)Tn?????23???(n?1)?nn?1?2??n?1??(n?1)?n?1，
1???2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2Tn???．
(1??)21??(1??)2(n?1)?n?2?n?n?1??2n?1?2?2． 这时数列?an?的前n项和Sn?2(1??)当??1时，Tn?n(n?1)n(n?1)n?1．这时数列?an?的前n项和Sn??2?2． 22（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列??an?1?a2的第一项最大，下面证明： ?a1?an?an?1a2?2?4??,n≥2． ③ ana122由??0知an?0，要使③式成立，只要2an?1?(??4)an(n≥2)， 22n2n因为(??4)an?(??4)(n?1)??(??1)2
?4?·(n?1)?n?4?2n?4(n?1)?n?1?2n?2
≥2n?n?1?2n?2?2an?1，n≥2．
所以③式成立． 因此，存在k?1，使得
an?1aa≤k?1?2对任意n?N?均成立． anaka1
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津 理）含答案
