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专题强化练八 等差数列与等比数列
一、选择题
1．(2024·惠州调研)数列{an}是公差为2的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S5
＝15，则a5＝( )
A．3 B．5 C．7 D．9 解析：由等差数列性质得，S5＝5a3＝15，所以a3＝3， 则a5＝a3＋2d＝3＋2×2＝7. 答案：C
2．(2024·山西太原3月模拟考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝( )
A．3 B．9 C．18 D．27
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为a2＋a3＋a10＝9，
所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3， 所以a5＝3，
9×（a1＋a9）9×2a5所以S9＝＝＝27.
22答案：D
3．(2024·衡水中学第二次调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝1＋2an(n≥2)，且
a1＝2，则S20＝( )
A．219－1 C．219＋1
B．221－2 D．221＋2
解析：因为Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，
所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋2an－(1＋2an－1)，化为an＝2an－1， 所以数列{an}是等比数列，公比和首项都为2. 2（220－1）21
所以S20＝＝2－2.
2－1答案：B
4．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则
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a2＋a3a1
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等于( )
A．4 B．6 C．8 D．10 解析：设数列{an}的公差为d， 则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d， 因为S1，S2，S4成等比数列， 所以S22＝S1S4，
即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)， 解得d＝0(舍去)或d＝2a1，
a2＋a3a1＋d＋a1＋2d8a1所以＝＝＝8.
a1a1a1
答案：C 二、填空题
5．(2024·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________． 解析：设{an}的公差为d，依题设a2＋a5＝2a1＋5d＝6＋5d＝36， 所以d＝6，因此an＝3＋6(n－1)＝6n－3. 答案：an＝6n－3
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a2a6＝________． 解析：由于Sn＝2n－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 则a2·a6＝2·25＝26＝64. 答案：64
7．设等差数列{bn}满足b1＋b3＝6，b2＋b4＝2，则2b12b2…2bn的最大值为________．
?b1＋b3＝6，?b1＋d＝3，解析：设数列{bn}的公差为d，由?得?
?b2＋b4＝2，?b1＋2d＝1，?b1＝5，解得?
d＝－2.?
所以{bn}的前n项和Sn＝5n＋
n（n－1）
2
×(－2)＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9≤9.
故2b1·2b2·2b3·…·2bn＝2b1＋b2＋…＋bn＝2Sn≤29＝512. 答案：512 三、解答题
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8．(2024·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 解：(1)设{an}的公差为d. 因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因为ea1＝e＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2.
ean－1
ln 2
ean所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列． 1－2n所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.
1－2
9．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得
?a1（1＋q）＝2，
?2
a（1＋q＋q）＝－6，?1
解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
a1（1－qn）－2[1－（－2）n]2(2)由(1)得Sn＝＝＝[(－2)n－1]，
1－q1－（－2）3
2
则Sn＋1＝[(－2)n＋1－1]，
32
Sn＋2＝[(－2)n＋2－1]，
3
2224
所以Sn＋1＋Sn＋2＝[(－2)n＋1－1]＋[(－2)n＋2－1]＝[2(－2)n－2]＝[(－2)n－1]＝2Sn，
3333所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
10．(2024·湖南师大附中质检)在公比为q的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列．
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(广东专版)201X高考数学二轮复习 第二部分 专题三 数列 专题强化练八 等差数列与等比数列 文
