立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

.

1．直线的向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的向向量：在直线上任取一非零向量作为它的向向量．

(2)平面的法向量可利用程组求出：设a，b是平面α两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的程组为?

a＝0，?n·

n·b＝0.?

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.

(2)设直线l的向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)设直线l的向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( × )

(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )

页脚

.

1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A．(－1,1,1) C．(－

333，－，－) 333

B．(1，－1,1) D．(

333

，，－) 333

答案 C

解析 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， →?AB＝0，?n·?－x＋y＝0，

则?化简得?

→－x＋z＝0，??AC＝0，?n·

∴x＝y＝z.故选C.

2．直线l的向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有( ) A．l∥α C．l与α斜交 答案 B

解析 由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B.

3．平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( ) A．2 B．－4 C．4 D．－2 答案 C

解析 ∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴

－2－4k＝＝，∴k＝4. 12－2

B．l⊥α D．l?α或l∥α

4．(教材改编)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β

解析 当v＝(3，－2,2)时，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β. 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u?α∥β.

5．(教材改编)如图所示，在正体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．

页脚

.

答案 垂直

→→→

解析 以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设111

正体棱长为1，则A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，，0)，

222

N(，0,1)，AM·ON＝(0,1，)·(0，－，1)＝0，

∴ON与AM垂直.

1

2

→→

1212

题型一 利用空间向量证明平行问题

例1 (2016·模拟)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，

∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，

B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)．

→→→

∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，

页脚

.

→→→设PB＝sFE＋tFG，

即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，

?

∴?t－s＝0，?－t＝－2，

t＝2，

→→→

解得s＝t＝2，∴PB＝2FE＋2FG，

→→→→→

又∵FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面． ∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG. 引申探究

本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC. →→

证明 ∵EF＝(0,1,0)，BC＝(0,2,0)， →→

∴BC＝2EF，∴BC∥EF.

又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC， ∴EF∥平面PBC，

同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC.

思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的向向量与平面的不共线的两个向量共面，或证直线的向向量与平面某直线的向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几的证明问题转化为向量运算．

(2016·海淀区模拟)正体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求

证：MN∥平面A1BD.

证明 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

11

设正体的棱长为1，则M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，

22

页脚

.

11→→→

于是MN＝(，0，)，DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)．

22设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

?x＋z＝0，→→

则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?

x＋y＝0.?

取x＝1，得y＝－1，z＝－1. 所以n＝(1，－1，－1)．

11→

又MN·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，

22→

所以MN⊥n.

又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直

例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

证明 法一 设平面A1BD的任意一条直线m的向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，→→μ，使m＝λBA1＋μBD.

→→→

令BB1＝a，BC＝b，BA＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，

→→1→

则BA1＝a＋c，BD＝a＋b，AB1＝a－c，

21??λ＋μ?a＋μb＋λc， m＝λBA1＋μBD＝?2??

→

→

→??λ＋μ?a＋μb＋λc?

AB1·m＝(a－c)·??2??

1

????

?1?→

＝4?λ＋μ?－2μ－4λ＝0.故AB1⊥m，结论得证．

?2?

法二 取BC的中点O，连接AO.

页脚