第五章 数 列
第1课时 数列的概念及其简单表示法
1. 已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25是该数列的第________项． 答案：7 解析：由于2＝3×1－1，5＝3×2－1，8＝3×3－1，…则数列的通项公式为an＝3n－1，由25＝3n－1，得n＝7.
1
2. 已知数列{an}满足：a1＝2，an＝1－(n＝2，3，4，…)，则a12＝__________．
an－1
答案：－1
解析：{an}是一个以3为周期的周期数列，所以a12＝a3×4＝a3＝－1.
2
3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋2n＋1，则{an}的通项公式为__________．
??4（n＝1），
答案：an＝?
?2n＋1（n≥2）.?
?4（n＝1），?
解析：当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，∴ an＝?
?2n＋1（n≥2）.?
4. 数列7，9，11，…，2n－1的项数是_________. 答案：n－3
解析：易知a1＝7，d＝2，设项数为m，则2n－1＝7＋(m－1)×2，m＝n－3.
*
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝Sn＋1，n∈N，则a6＝_________． 答案：48
解析：当n≥2时，an＋1＝Sn＋1，an＝Sn－1＋1，两式相减，得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，则a2＝a1＋1＝3，a3＝2a2＝6，a4＝2a3＝12，a5＝2a4＝24，a6＝2a5＝48.
2
6. 设an＝－n＋10n＋11，则数列{an}从首项到第________项的和最大． 答案：10或11
2*
解析：由－n＋10n＋11≥0得－1≤n≤11，又n∈N，∴ 0＜n≤11.∴ 前10项为正，第11项为0.
*
7. 已知数列{an}对任意的p，q∈N满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝________． 答案：－30
解析：由已知得a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－30. 8. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
2
n－n＋6答案：
2
2
n－n
解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是
2
22n－nn－n＋6
全体正整数中第＋3个，即为. 22
*
9. 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m2
－n).求a3，a5.
2
解：令m＝1，n＝2，得a1＋a3＝2a2＋2×(1－2)，故a3＝6；令m＝3，n＝1，得a5＋a1
1
＝2a3＋2(3－1)，故a5＝20.
10. 已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝解：由a1＝0，an＋1＝
an－3
*
2
an－3
(n∈N)，求a20. 3an＋1
*
(n∈N)，得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…由此可知：数3an＋1
列{an}是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20＝a2＝－3.
n
11. 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)0.9，求n为何值时，an取得最大值． 解：∵ a1＝2×0.9＝1.8，a2＝3×0.81＝2.43，∴ a1 ??an≥an＋1， ∴ a1不是数列{an}中的最大项．设第n项an的值最大，则?即 ?a≥a，nn－1? nn＋1 ???（n＋1）0.9≥（n＋2）0.9，?n≥8，?解得? nn－1?（n＋1）0.9≥n0.9，?n≤9.?? ∴ 当n为8或9时，an取得最大值． 第2课时 等 差 数 列 1 1. 在等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝________． 3 答案：50 1212 解析：∵ a1＝，a2＋a5＝4，∴ d＝，an＝＋(n－1)×＝33，∴ n＝50. 3333 2. (2014·重庆)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝__________． 答案：8 解析：等差数列{an}中，a1＋a7＝a3＋a5，则a7＝a3＋a5－a1＝10－2＝8. 3. 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________． 答案：27 解析：∵ a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，两式相减得d＝－2，∴ a3＋a6＋a9＝a2＋a5 ＋a8＋3d＝33－6＝27. 4. (2014·苏锡常镇二模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－1，S3＝6，则S6 ＝__________． 答案：39 6 解析：由题设知a1＝－1，a2＋a3＝7，则d＝3，而a6＝－1＋5d＝14，S6＝(－1＋14)× 2 ＝39. 5. (2014·江西)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围为__________． 7??答案：?－1，－? 8?? 7 解析：由题意知：a8>0，a9<0，则－1 8 6. 设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝__________． 答案：5或6 解析：由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大． 7. 已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n＝__________． 答案：10 2 n（a2＋an－1） 解析：由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17.又a2＝3，Sn＝ 2 ＝100，解得n＝10. 8. 设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任* 意n∈N，都有Sn≤Sk成立，则k的值为____________． 答案：20 * 解析：(解法1)由对任意n∈N，都有Sn≤Sk成立，知Sk是Sn的最大值．由等差数列的性质，得a1＋a7＝2a4，a2＋a8＝2a5，代入已知条件，得a4＝33，a5＝31，则公差d＝a5－a4 n（n－1）22 ＝－2，a1＝33－3d＝39，∴ Sn＝39n＋×(－2)＝－n＋40n＝－(n－20)＋400， 2 则当n＝20时，Sn有最大值，故k的值为20. * (解法2)由题设对任意n∈N，都有Sn≤Sk成立，知求k的值即求Sn最大时的项数n.由等差数列的性质，有a1＋a7＝2a4, a2＋a8＝2a5，代入已知条件，得a4＝33，a5＝31，则公差d ??an≥0， ＝a5－a4＝－2，a1＝33－3d＝39，∴ an＝39－2(n－1)＝41－2n.由?即 ?a＜0，n＋1? ??41－2n≥0，?解得19.5 9. (2014·常州期末)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知S3＝a5，S5＝25. (1) 求数列{an}的通项公式； a1 (2) 若p、q为互不相等的正整数，且等差数列{bn}满足b1＝，bap＝p，baq＝q，求数 4 列{bn}的前n项和Tn. ???3a1＋3d＝a1＋4d，?a1＝1，?解：(1) 由已知，得解得? ?5a1＋10d＝25，?d＝2.?? ∴ an＝2n－1. (2) p，q为正整数，由(1)得ap＝2p－1，aq＝2q－1. 由已知，得b2p－1＝p，b2q－1＝q. q－p1n（n－1） ∵ {bn}是等差数列，p≠q，∴ {bn}的公差d′＝＝. ∴ Tn＝nb1＋d′ 2q－2p22 2n＝. 4 10. 在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0. (1) 求数列的通项公式； (2) 设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn. 解：(1) ∵ an＋2－2an＋1＋an＝0，∴ an＋2－an＋1＝an＋1－an， ∴ {an＋1－an}为常数数列，∴ {an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，a4 2－8 ＝a1＋3d，∴ d＝＝－2， 3 ∴ an＝10－2n. (2) ∵ an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.令Tn＝a1＋a2＋…＋an， ∴ 当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn －T5)＝2T5－Tn；当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn. 2 ?9n－n，n≤5，? ∴ Sn＝?2 ?n－9n＋40，n>5.? 11. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0. (1) 求公差d的取值范围； (2) 指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由． 3 12×（12－1） 解：(1) 依题意，有S12＝12a1＋·d＞0， 2 13×（13－1） S13＝13a1＋·d＜0， 2 ??2a1＋11d＞0，①即? ?a＋6d＜0，②?1 由a3＝12，得a1＝12－2d，③ ??24＋7d＞0， 将③式分别代入①，②式，得? ?3＋d＜0，? 24 ∴ －＜d＜－3. 7 (2) 由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．由S12＝6(a6＋a7)＞0, S13＝13a7＜0，即 a6＋a7＞0，a7＜0， 由此得a6＞－a7＞0.因为a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大． 第3课时 等 比 数 列 1. 在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝32，则a4＝________． 答案：8 422 解析：a6＝a2·q，∴ q＝4，∴ a4＝a2q＝8. 2. (2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6＝__________． 答案：4 64242 解析：设公比为q，因为a2＝1，则由a8＝a6＋2a4得q＝q＋2q，q－q－2＝0，解得24 q＝2，所以a6＝a2q＝4. 3. 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________． 1答案： 8 解析：∵ S3，S6－S3，S9－S6成等比， 12 ∴ (S6－S3)＝(S9－S6)·S3，∴ S9－S6＝， 8 1 ∴ a7＋a8＋a9＝S9－S6＝. 8 S20 4. (2014·扬州期末)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5＋2a10＝0，则的值是 S10 ____________． 5答案： 4 解析：当q＝1时，a5＝a10＝0不合题意， 20 a101S201－q15510 ∴ 公比q≠1.∴ q＝＝－，因而＝10＝1＋q＝1＋＝. a52S101－q44 ?1? 5. 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列??的前 ?an? 5项和为__________． 31答案： 16 4 9（1－q）1－q 解析：设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所 1－q1－q ?1?131以数列??是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式得S5＝. 216?an? 6. (2014·徐州二模)在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8.设S3n为该数列的前3n项 3 和，Tn为数列{an}的前n项和．若S3n＝tTn，则实数t的值为__________． 答案：7 3n 1－233n 解析：∵ a4＝a1q＝q＝8，∴ q＝2，S3n＝＝8－1. 1－2 3 由题意知，数列{an}是首项为1，公比为8的等比数列， n 1－81n ∴ Tn＝＝(8－1)，由S3n＝tTn，得t＝7. 1－87 7. (2014·全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于________． 答案：4 a55a41616 解析：由已知得q＝＝，∴ a1＝3＝，∴ lga1＝lg.∵ {an}为等比数列， a42q125125an5 ∴ lgan－lgan－1＝lg＝lg(n≥2)， an－12 ∴ {lgan}为等差数列． 168×75 ∴ 所求和为8lg＋lg＝8(4lg2－3lg5)＋28(lg5－lg2)＝4lg2＋4lg5＝4. 12522 n－1* 8. 已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2，n∈N，设数列{an}的前n项和为Sn.若不 * 等式Sn＞kan－2对一切n∈N恒成立，则实数k的取值范围是__________． 5??答案：?－∞，? 3?? n－1* 解析：设等比数列{an} 的公比为q，因为an＋1＋an＝9·2，n∈N，所以a2＋a1＝9， a3＋a218n－1* a3＋a2＝18，所以q＝＝＝2，所以2a1＋a1＝9，所以a1＝3.所以an＝3·2，n∈N， a2＋a19nn a1（1－q）3（1－2）1nnn－1 故Sn＝＝＝3(2－1)，即3(2－1)>k·3·2－2，所以k<2－n－1. 1－q1－23·2 1155 令f(n)＝2－n－1，则f(n)随n的增大而增大，所以f(n)min＝f(1)＝2－＝，得k<. 3·2333 9. 已知{an}是首项为a1、公比q为正数(q≠1)的等比数列，其前n项和为Sn，且5S2 ＝4S4. (1) 求q的值； (2) 设bn＝q＋Sn，请判断数列{bn}能否为等比数列？若能，请求出a1的值，若不能，请说明理由． 24 5a1（1－q）4a1（1－q） 解：(1) 由题意知5S2＝4S4，∴ ＝. 1－q1－q 142 ∵ a1≠0，q>0且q≠1，∴ 4q－5q＋1＝0，解得q＝. 2 n 1?n－1a1（1－q）?(2) ∵ Sn＝＝2a1－a1??， 1－q?2? 1?n－11?∴ bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1??. 2?2? 1?n＋111?要使{bn}为等比数列，当且仅当＋2a1＝0，即a1＝－时，bn＝??为等比数列， 24?2? 5 36
高考数学一轮总复习 第五章 数列课时训练 理
