2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第四届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2007年7月27日， 8：00－12：00， 浙江镇海）

一、 试求实数a的个数，使得对于每个a，关于x的三次方程x3?ax?a?1都

有满足x?1000的偶数根。 二、 如图，设C、D是以O为圆心、AB为

直径的半圆上的任意两点，过点B作O的切线交直线CD交于P，直线PO与直线CA、AD分别交于点E、F。证明：OE=OF。 i??三、 设ai?min?k?k?N*?，试求

k??Sn2??a1???a2?????an2??的值，其中n?2,?x?表示不超过x的最大整数。

nFDCAPOBE四、 求最小的正整数n，使得对于满足条件?ai?2007的任一具有n项的正整

i?1数数列a1,a2,

,an，其中必有连续的若干项之和等于30。

第 二 天

（2007年7月28日， 8：00－12：00， 浙江镇海）

五、 设函数f?x?满足：f?x?1??f?x??2x?1(x?R)，且当x??0,1?时有

f?x??1，证明：当x?R时，有f?x??2?x2。 六、 如图，直角三角形ABC中，D是斜边AB

的中点，MB?AB，MD交AC于N；MC的延长线交AB于E。证明：?DBN??BCE。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a, b, c)：

(i) a

于整数k?2，有

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