2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学3卷 （试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题, 每小题5分, 共60分） 1．设复数z满足(1?i)z?2i, 则z?（） 1A．
2【答案】C
B．2 2
C．2
D．2
【解析】由题, z?C.
2i?1?i?2i2i?2???i?1, 则z?12?12?2, 故选1?i?1?i??1?i?2222．已知集合A?(x,y)x?y?1, B??(x,y)y?x?, 则AIB中元素的个数为（）
??A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B
【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合, B表示直线y?x上所有点的集合,
故AIB表示两直线与圆的交点, 由图可知交点的个数为2, 即AIB元素的个数为2, 故选B.
3．某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据, 绘制了下面的折线图．
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2014年 2015年 2016年
根据该折线图, 下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月, 波动性更小, 变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知, 2014年8月到9月的月接待游客量在减少, 则A选项错误, 故选A.
4．(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为（）
A．??? B．??? C．40 D．80 【答案】C
【解析】由二项式定理可得, 原式展开中含x3y3的项为
23333x?C5?2x???y??y?C35?2x???y??40xy, 则xy的系数为40, 故选C.
2332
x2y255．已知双曲线C：2?2?1（a?0, b?0）的一条渐近线方程为y?x, 且与椭
ab2x2y2?1有公共焦点．则C的方程为（） 圆?123x2y2x2y2x2y2x2y2A．?B．?C．?D．??1 ?1 ?1 ?1
810455443【答案】B
5b5【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?① x, 则?a22x2y2?1与双曲线有公共焦点, 易知c?3, 则a2?b2?c2?9② 又∵椭圆?123x2y2 ?1, 故选B. 由①②解得a?2,b?5, 则双曲线C的方程为?45
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π6．设函数f(x)?cos(x?), 则下列结论错误的是（）
3A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x??)的一个零点为x?【答案】D
π 6
B．y?f(x)的图像关于直线x?
πD．f(x)在(,π)单调递减
28π对称 3π?π?【解析】函数f?x??cos?x??的图象可由y?cosx向左平移个单位得到,
3?3??π?如图可知, f?x?在?,π?上先递减后递增, D选项错误, 故选D.
?2?y ??? g????x-O?6?7．执行右图的程序框图, 为使输出S的值小于91, 则输入的正整数N的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
S M
0 100 1 初始状态
100 2 ?10 第1次循环结束
90 1 3 第2次循环结束
此时S?90?91首次满足条件, 程序需在t?3时跳出循环, 即N?2为满足条件的最小值, 故选D.
8．已知圆柱的高为1, 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（）
3πππA．π B． C． D．
4２4【答案】B
3?1?, 【解析】由题可知球心在圆柱体中心, 圆柱体上下底面圆半径r?1????2?2?3π2, 故选B. 则圆柱体体积V?πrh?422 - 3 -
9．等差数列?an?的首项为1, 公差不为0．若a2,
a3, a6成等比数列, 则
?an?前6项的和为（）
A．?24 B．?3 C．3 【答案】A
【解析】∵?an?为等差数列, 且a2,a3,a6成等比数列, 设公差为.
2?a2?a6, 即?a1?2d???a1?d??a1?5d? 则a32 D．8
又∵a1?1, 代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0, 则d??2
6?56?5d?1?6????2???24, 故选A. ∴S6?6a1?22x2y210．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1, A2, 且以线段A1A2ab为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切, 则C的离心率为（）
1632A． B． C． D．
333３【答案】A
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切, ∴圆心到直线距离等于半径,
2ab?a ∴d?22a?b又∵a?0,b?0, 则上式可化简为a2?3b2
c22222222∵b?a?c, 可得a?3a?c, 即2?
a3c6, 故选A ∴e??a3
11．已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点, 则a?（）
111A．? B． C． D．1
２32【答案】C
【解析】由条件, f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1), 得：
??f(2?x)?(2?x)2?2(2?x)?a(e2?x?1?e?(2?x)?1)?x2?4x?4?4?2x?a(e1?x?ex?1)
?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)∴f(2?x)?f(x), 即x?1为f(x)的对称轴, 由题意, f(x)有唯一零点, ∴f(x)的零点只能为x?1,
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即f(1)?12?2?1?a(e1?1?e?1?1)?0,
1解得a?．
2
12．在矩形ABCD中, AB?1, AD?2, 动点P在以点C为圆心且与BD相切的
uuuruuuruuur圆上．若AP??AB??AD, 则???的最大值为（） A．3 B．22 C．5 【答案】A
【解析】由题意, 画出右图．
设BD与eC切于点E, 连接CE． 以A为原点, AD为轴正半轴, AB为轴正半轴建立直角坐标系, 则C点坐标为(2,1)．
∵|CD|?1, |BC|?2．
∴BD?12?22?5． ∵BD切eC于点E． ∴CE⊥BD．
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．
12??|BC|?|CD|2S22|EC|?△BCD?2??5 |BD||BD|5525． 即eC的半径为5∵P在eC上．
4(x?2)2?(y?1)2?5． ∴P点的轨迹方程为
设P点坐标(x0,y0), 可以设出P点坐标
D．2
yBPgC满足的参数方程如下：
2?x?2?5cos???05A(O)??y?1?25sin?0?5? uuuuuurruuur而AP?(x0,y0), AB?(0,1), AD?(2,0)． uuuruuuruuur∵AP??AB??AD??(0,1)??(2,0)?(2?,?) 2155sin?． x0?1?cos?, ??y0?1?525两式相加得：
25????1?5sin??1?cos?55EDx ∴??2525)?()2sin(???)55?2?sin(???)≤3 ?2?( (其中sin??当且仅当??
525, cos??) 55π?2kπ??, k?Z时, ???取得最大值3． 2- 5 -
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