第二讲 数列求和及综合应用
高考考点 考点解读 1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式；求数列的通项公式 已知等差(比)的某些项或前几项的和，求其通项公式 2．考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等 1.以等差(比)数列为命题背景，考查等差(比)的前n项和公式、求数列的前n项和 分组求和 2．以递推数列、等差(比)数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法 1.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消与数列的和有关的综合应用 求和 2．常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法． (2)掌握等差(比)数列求和公式及方法．
(3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． (4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略． 预测2020年命题热点为：
(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式． (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和．
(3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立．
知识整合
Zhi shi zheng he
1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然c
后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{}(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0
anan＋1
的等差数列，c为常数)的数列等．
3．错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
4．倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
附：
(1)常见的拆项公式(其中n∈N*) ①②③
111＝－.
n?n＋1?nn＋11111
＝(－)．
n?n＋k?knn＋k
1111＝(－).
?2n－1??2n＋1?22n－12n＋111111111
＝(－)；＝(－)． anan＋1danan＋1anan＋22danan＋2
④若等差数列{an}的公差为d，则⑤⑥⑦
1111
＝[－]．
n?n＋1??n＋2?2n?n＋1??n＋1??n＋2?＝n＋1－n.
n＋n＋1
11
＝(n＋k－n)．
n＋n＋kk
1
(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如 n?n＋1?
①1＋2＋3＋…＋n＝；
2②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
1
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
6易错警示Yi cuo jing shi
1．公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论． 2．错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项． 3．裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项． 4．裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性．
1．(2017·全国卷Ⅱ，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( B )
A．1盏 C．5盏
B．3盏 D．9盏
[解析] 设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
a1?1－q7?a1?1－27?∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
1－q1－2故选B．
2．(2017·全国卷Ⅰ，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依次类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )
A．440 C．220
B．330 D．110
[解析] 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类n?1＋n?
推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.
2
n?1＋n?
由题意知，N>100，令>100?n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．
21－2nn2?1－2n?＋
第n组的各项和为＝2－1，前n组所有项的和为－n＝2n1－2－n.
1－21－2n?1＋n?
设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第
2n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n29×?1＋29?＋3)?n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440.
2
故选A．
3．(2018·江苏卷，14)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27.
[解析] B＝{2,4,8,16,32,64,128…}，与A相比，元素间隔大，所以从Sn中加了几个B中元素考虑，
1个：n＝1＋1＝2 S2＝3,12a3＝36 2个：n＝2＋2＝4 S4＝10,12a5＝60 3个：n＝4＋3＝7 S7＝30,12a8＝108 4个：n＝8＋4＝12 S12＝94,12a13＝204
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第二讲 数列求和及综合应用
