子击出,遭田子方于道,下车伏谒。子方不为礼。子击怒,谓子方曰:“富贵者骄人乎?贫贱者骄人乎?”子方曰:“亦贫贱者骄人耳!富贵者安敢骄人!国君而骄人,则失去国;大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也,失其家者未闻有以家待之者也。第二节 等差数列及其前n项和
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.用符号表示为an+1-an=d(n∈N,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d. (2)前n项和公式:Sn=na1+3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N)是公差为md的等差数列.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N,都有2an+1=an+ an+2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d等于( )
1
*
*
*
*
*
a+b2
,其中A叫做a,b的等
nn-
2
dna1+an=2
.
子击出,遭田子方于道,下车伏谒。子方不为礼。子击怒,谓子方曰:“富贵者骄人乎?贫贱者骄人乎?”子方曰:“亦贫贱者骄人耳!富贵者安敢骄人!国君而骄人,则失去国;大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也,失其家者未闻有以家待之者也。A.-1 C.2
B.1 D.-2
D [依题意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故选D.]
3.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 C.9
A [a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5=B.7 D.11
a1+a5
2
=5a3=5.]
4.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 C.98
B.99 D.97
C [法一:∵{an}是等差数列,设其公差为d, 9
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
2
??a1+4d=3,
又∵a10=8,∴?
?a1+9d=8,?
??a1=-1,
∴?
?d=1.?
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C. 法二:∵{an}是等差数列,
9
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
2
在等差数列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d′=a10-a5=8-3=5. 故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.]
5.(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数. 16 [由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an}, 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 42
由an=6n≤100,即n≤16=16,
63则在100以内有16个能被6整除的数.]
若S8=4S4,则a10=( )
A.
17
2
B.
等差数列的基本运算 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,
19 2
C.10
D.12
2
全国通用2024高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版



