平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
?x2y22??1,?y?2x,??（3） ?5 （4）?2 42??x?y?8.?y?x?3;?
2.3.2 一元二次不等式解法
一、引入：二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：
x y －3 6 －2 0 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 0 4 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0， 即x2－x-6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0， 即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0， 即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么 一元二次方程x2－x－6＝0的解就是
x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
y y y
O x2 x1 x O x1= x2 x O x
① ③ ②
图2.3－2
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝
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b
－ ，由图2.3－2②可知 2a
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－
b ； 2a
不等式ax2＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 二、典型例题： 例3 解不等式：
（1）x2＋2x－3<0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1． ∴不等式的解为 －3< x <1．
（2）整理，得 x2－x－6＞0．
∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为 x1＝－2，x2＝3．
∴所以，原不等式的解为 x＜－2，或x >3．
（3）整理，得 (2x＋1)2≥ 0.
由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数． （4）整理，得 (x－3)2≤0.
由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立， ∴原不等式的解为 x＝3． （5）整理，得 x2－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
2例4 已知不等式ax?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx?ax?c?0的解．
2解：由不等式ax?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知
2a?0，且方程ax2?bx?c?0的两根分别为2和3，
bcbc∴??5,?6，即 ??5,?6．
aaaab2c2由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为 x?x??0 ，
aa22即 －5x?x?6?0,整理，得 5x?x?6?0,
62所以，不等式bx?ax?c?0的解是 x＜－1，或x＞ ．
5说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 三、练习A 1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12<0；
（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2 ≤ 0．
2．解下列方程组：
?x22?(x?3)2?y2?9,??y?1,（1）?4 （2）?
?x?2y?0;?x?y?2?0;?
?x2?y2?4,?（3）?2 2??x?y?2.
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3．解下列不等式：
（1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0；
（3）2x－x2≥－1；
练习B组
?y2?4x,1．m取什么值时,方程组? 有一个实数解?并求出这时方程组的解．
y?2x?m?
2．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式
bx2＋cx＋4≥0．
1.1.1．绝对值（答案）
练习A 1．（1）?5；?4 （2）?4；?1或3 2．D 3．?5x?x?1
13?8?x(5?x?） ??2练习B 4、?
13?3x?18(x?）
?2?1.1.2．乘法公式
1．（1）a?13111b （2）, （3）4ab?2ac?4bc 2242．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
练习A 1． （1）3?2 （2）3?x?5 （3）?86 （4）5．2．C
练习B 3．1 4．＞
1.1.4．分式
991
练习A 1． 2．B 3．0 4．
2100习题1．1
A组
1．x??2或x?4 2．1 3．（1）2?3 （2）?1?a?1 （3）6?1 4．（1）
3 5．4． 7B组 1．（1）D （2）C 2．
36 551.2分解因式（答案）
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A组 1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a?2ab?b) （3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．
B组
1．（1）?a?1?a2?a?1 （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1? （3）?b?c??b?c?2a? 2．（1）?x?22?????5?13??5?13?； （2）x?2?5x?2?5； x???????2??2??????2?7?3?3．(x?a?1)(x?a)
（3）3?x???2?7?； y??x?y????3???2.1 一元二次方程（答案）
练习A
1． （1）C （2）D （3）C （4）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；
对于④，其两根之和应为－
2． 3 （5）C
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 （4）2 （5）
17 （6）6 （7）3 4
3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9 5．当m＞－
111，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方程没有实数444根．
6．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－
2
x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y＋7y－1＝0．
练习B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－
1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
33abc?bbb2?4acx1?x24．（1）| x1－x2|＝，＝?；（2）x13＋x23＝． 3a22a|a|5．∵| x1－x2|＝16?4m?24?m?2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质（答案）
练习A
1、（1）D （2）A 2、（1）4 0 （2）2 -2 0
（3）下 x??2 （-2，5） -2 大 5 ??2
3、（1）y?(x?1)?4 开口向上，对称轴为x=1 ，顶点坐标为（1，-4），当x=1时，y取最小值-4。 （2）y??(x?3)?10 开口向下，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，10），当x=3时，y取最大值10。
222.2.2 二次函数的三种表示方式（答案）
1（1）A （2）C 2、（1）(x?1)(x?2) （2）4
33237223、（1）y??x?2x?3 （2）y?(x?3)?5=x?9x?
2222 （3）y?2(x?1?2)(x?1?2)?2x?4x?2
2.2.3 二次函数的简单应用
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（1）y?(x?)?3229 4
（2）y?2(x?1)?1 （4）y?2
（3）y??2(x?)?（5）y?(x?2)?4 （7）y??(x?223227 2
14(x?1)2? 332（6）y?(x?3)?1 （8）y?129)? 24
1(x?1)2?8 22
（9）y?x?1 （11）y??（10）y?(x?3)?11 （12）y?0.1(x?2)?1 （14）y?(x?1)?2
222111(x?3)2? 22332（13）y?(x?1)?
551232（15）y?2(x?)?
22
2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法
练 习 A组
1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解． 2．（1）??x1?15,?y1?20,?x2??20,?x1?5, （2）??y??15;?2?y1??2,?x2??2, ??y2?5;5?x?,??x1?2,?3 （3）? （4）?
y?2,4?1?y??.?3??x2?2, ?y??2.?22.3.2 一元二次不等式解法
练 习 A组
41．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）?3?x?4； （3）x＜－4，或x＞1；
3
（4）x＝4．
10?x?,??x1?2,?x1?0,?232．（1）? ? （2）?
?y1?0,?y1?0,?y?4.2?3??x3??3,???x?3,??x2?3,??x4??3,（3）?1 ????y1?1,??y2??1,??y4??1.?y3?1,??3．（1）无解 （2）?
24?x?,??25 ??y??12.2?5?2323?x? （3）1?2?x?1?2 33B 组
1．消去y，得4x?4(m?1)x?m?0．
221时，方程有一个实数解． 21?x?,1? 将m?代入原方程组，得方程组的解为?4
2??y?1. 当??16(m?1)?16m?0,即m?22
2．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根， bc
∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．
22
∴不等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0， ∴?
1?x?2． 2- 25 -
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