平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x?2bcx?) aa = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]
＝a(x－x1) (x－x2)．
由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
二、典型例题：
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为y?a(x?1)?2(a?0)， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴?1?a(3?1)?2，解得a＝? ∴二次函数的解析式为y??223． 43335(x?1)2?2，即y=?x2?x? 4424说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问
题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
?12a2?4a2??4a， 展开，得 顶点的纵坐标为
4a1由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝?．
2123123所以，二次函数的表达式为y＝x?x?，或y＝－x?x?．
2222y＝ax2＋2ax－3a，
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐
标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，
11，或a＝． 2211所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
22∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，
要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
??22?a?b?c,?由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得??8?c,
?8?4a?2b?c,? 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
三、练习A 1．选择题:
（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
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1
（2）函数y＝－ (x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a (a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1，
y 其顶点坐标为(1，－1)．
x＝－1 （1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2． （2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2．
O 2．对称变换 x 问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依A(1,－1) A1(－3,－1) 据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的
图2.2－7
特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称
y 变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． B(1，3) 例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： y＝1 （1）直线x＝－1； （2）直线y＝1．
O x - 17 - A(1,－1) 图2.2－8
解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，-1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．
二、分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象． 分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为
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?80,?160?? y??240,?320???400,
x?(0,20]x?(20,40]x?940,80] x?(60,80]x?(80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．
y(分) 400 320 240 160 80 O 20 40 60 80 100 x(克)
图2.2－9
三、配方法及其应用
1、同学们知道，在求二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变形：
2b24ac?b2b22y?ax?bx?c?a(x?)?，这种变形的过程就叫配方。具体过程为y?ax?bx?c?a(x?x)?c
2a4aabb2b22?a[x?x?()]?c?
a2a4ab24ac?b2?a(x?)?
2a4a2用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一，望同学们给予足够的重视，在上高中之
前务必先学会并掌握配方。
例1、将下列二次函数式配方：
（1）y?x?2x?3
222
2（2）2x?5x?1 （4）y?1?4x?5x
22（3）y??3x?6x?1
解：（1）y?(x?2x?1)?2?(x?1)?2
552525517x)?1?2(x2?x?)?1??2(x?)2? 2216848222 （3）y??3(x?2x)?1??3(x?2x?1)?1?3??3(x?1)?2
44442122)?1??5(x?)2? （4）y?5(x?x)?1?5(x?x?5525555 （2）y?2(x?2例2、求下列二次函数的最大（或最小）值： （1）y?2x?3x （3）y?2
（2）y?1?6x?x （4）y??212x?2x?1 212x?x?4 4
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339939x)?2(x2?x?)??2(x?)2? 221684839 ∴当x??时 y取最小值?
48222 （2）y??(x?6x)?1??(x?6x?9)?1?9??(x?3)?10
解：（1）y?2(x2? ∴当x=3时，y取最大值10 （3）y?1211(x?4x)?1?(x2?4x?4)?1?2?(x?2)2?1 2221211(x?4x)?4??(x2?4x?4)?1?4??(x?2)2?3 444 ∴当x=-2时，y取最小值-1 （4）y?? ∴当x=-2时，y取最大值-3
思考：1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么？
2、你是否已概括出了配方的几个步骤？（注：最好不要用公式去套）
四、练习A组
将下列二次函数配方
（1）y?x?3x
22
2
（2）y?2x?4x?1
（3）y??2x?6x?1
（5）y?x(x?4)
（4）y?122x?x?1 33
（6）y?(x?2)(x?4)
（7）y??(x?2)(x?1)
2（9）y?(x?1)?2(x?1)
（11）y?1?3x?
（13）y?
（8）y?1(x?3)(x?5) 2
（10）y?(x?1)?4x?3
2
12x 2
（12）y?0.1x?0.4x?0.6
2
326x?x 55
（14）y?x?2x?3
42
42（15）y?2x?2x?1
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
一、概念：方程 x?2xy?y?x?y?6?0
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中x,2xy,y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
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?x2?4y2?x?3y?1?0, ??2x?y?1?0;22??x?y?20, ?2 2??x?5xy?6y?0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次
方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 二、典型例题：
例1 解方程组
y y＞0 y＝x2－x－6 y＞0 ?x2?4y2?4?0, ?
x?2y?2?0.?①
②
－2 O y＜0 3 x
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得
x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y1＝0，y2＝－1．
把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0．
图2.3－1
?x1?2, 所以原方程组的解是 ?
y?0，?1?x2?0, ?y??1.?2说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．
例2 解方程组 ??x?y?7,
?xy?12.2① ②
解法一：由①，得 x?7?y. ③ 把③代入②，整理，得 y?7y?12?0 解这个方程，得 y1?3,y2?4． 把y1?3代入③，得x1?4； 把y2?4代入③，得x2?3．
?x1?4,所以原方程的解是 ?
y?3，?1?x2?3, ?y?4.?2
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y．
这个方程组的x,y是一元二次方程 z?7z?12?0 的两个根，解这个方程，得 z?3，或z?4． 所以原方程组的解是 ?
三、练习A
2?x1?4,?x2?3, ?
?y1?3;?y2?4.?x2?y2?13,1．下列各组中的值是不是方程组? 的解? （ ）
?x?y?5?x?2,?x?3,?x?1,?x??2,（1）? （2）? （3）? （4）?
?y?3;?y?2;?y?4;?y??3; 2．解下列方程组:
?y?x?5,?x?y?3,（1） ?2 （2） ?2?xy??10;?x?y?625;
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