平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
数 学
亲爱的2019届平冈学子：
恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真
做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选
拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。
这里给大家几个学数学的建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。 记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。
初高中数学衔接呼应版块
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
9. 角度问题，三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。
10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
- 1 -
平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1．2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算 1.1.1．绝对值
?a,a?0,?一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即|a|??0,a?0,
??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
二、典型例题： 例1 解不等式：|x?1|?4 解法一：由x?1?0，得x?1；
①若x?1，不等式可变为?(x?1)?4，即1?x?4，得x??3，又x＜1， ∴x＜-3；
②若1?x，不等式可变为(x?1)?4， 即x?5 又x?1 ∴ x?5
综上所述，原不等式的解为x??3或x?5。
解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；
所以|x?1|?4的几何意义即为 |PA|＞4．
可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在 ∴ x??3或x?5。 练 习A 1．填空：
（1）若x?5，则x=_________；若x??4，
（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________. 2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
P x C -3 A 1 D 5 x 点D(坐标5)的右侧．
|x－1|
图1．1－1
则x=_________.
- 2 -
平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 练习B
3．解不等式：|x?2|?3
4、化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a?b； （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b；
223322222必（2）立方差公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； 须2222(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)； （3）三数和平方公式 记住（4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；
332232233（5）两数差立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 二、典型例题
例1 计算：(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)．
222?解法一：原式=(x2?1)?(x?1)?x?? 6 =(x?1)(x?x?1)=x?1．
24222解： a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?8． 练 习A 1．填空：
2．选择题：
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
一、概念：一般地，形如
3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?
解法二：原式=(x?1)(x?x?1)(x?1)(x?x?1) =(x?1)(x?1) =x?1．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值．
222233226222121211a?b?(b?a)（ ）； 942322 （2）(4m? )?16m?4m?( )；
2222 (3 ) (a?2b?c)?a?4b?c?( )．
（1）
1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 21212122m （A）m （B）m （C）m （D）
416322（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）
（1）若x?21.1.3．二次根式
a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
2x?1，x2?2xy?y2，a2等是有理式． 2- 3 -
平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2． 二次根式a2的意义 二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)．
2解： （1）12b?23b； （2）ab?aa2?a???a,a?0,
?a,a?0.?b?ab(a?0)；
（3）4xy?2x63y??2x3y(x?0)．
例2 计算：3?(3?3)． 解法一：
3?(3?3)＝33?333?3＝3?133?33(3?1)3?(3?3)＝ ＝＝．
29?36(3?3)(3?3)3?1133?1 ＝＝＝．
23?13(3?1)(3?1)(3?1)解法二：
3?(3?3)＝ ＝
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11?
2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?10(11?10)(11?10)1， ??111?1011?10又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．
11?10?22－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 （2）∵22－6? 又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22， ∴
例4 化简：(3?解：(3? ＝(3? ＝?(3?2＜22－6. 6?42)2004?(3?2)2005．
2)2004?(3?2)2005
2)2004?(3?2)2004?(3?2)
20042)?(3?2)???2004?(3?2) ＝1 ＝3?2．
?(3?2)
例 5 化简：（1）9?45； （2）x? 解：（1）原式=5?45?4
21?2(0?x?1)． 2x(5)2?2?2?5?22
- 4 -
平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
?(2?5)2 ?2?5?5?2．
（2）原式=(x?)2?x?∵0?x?1，∴
练 习A 1．填空：
1x1， x11?1?x， 所以，原式＝?x． xx1?3＝__ ___； （2）若(5?x)(x?3)2?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；
（1）1?3（3）424?654?396?2150?__ ___；
（4）若x?5x?1?x?1x?1?x?2，则x?1?x?1?1x?1?x?1?______ __．
（提示先简化后代入）
2．选择题： 等式xxx?2?x?2成立的条件是 （ ） （A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2
练习B
3．若b?a2?1?1?a2a?1，求a?b的值．
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.4．分式
一、概念：1．分式的意义
形如
AAAB的式子，若B中含有字母，且B?0，则称B为分式．当M≠0时，分式AA?MB具有下列性质：B?B?M； 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式
a像bm?n?c?d，p2m这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
n?p二、典型例题：
例1 若
5x?4x(x?2)?Ax?Bx?2，求常数A,B的值．
解： ∵ABA(x?2)?Bx(Ax?x?2?x(x?2)??B)x?2Ax(x?2)?5x?4x(x?2)，
∴??A?B?5,?2A?4, 解得 A?2,B?3．
例2 （1）试证：1n(n?1)?1n?1n?1（其中n是正整数）；
（2）计算：11?2?112?3?L?9?10； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
12?3?13?4?L?1n(n?1)?12．
- 5 -
AB?A?MB?M．
(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题
