1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
解析：选C.由向量的数乘运算律知选C. 2．下面几个命题：
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb； ②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na； ③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b； ④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n. 其中正确命题的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C.由向量的数乘运算律，知①②均正确．
对于③，若m＝0，由ma＝mb，未必一定有a＝b，错误． 对于④，若a＝0，由ma＝na，未必一定有m＝n，错误．
3．设a是任一向量，e是一单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( ) a
A．e＝ B．a＝|a|e |a|C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
a
解析：选D.对于A，当a＝0时，没有意义，错误．对于B、C、D，当a＝0时，选项B、
|a|C、D都对；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，且|±|a|e|＝|a|，故B、C不全面，选D.
→→→
4．若OA＝a，OB＝b，则∠AOB平分线上的向量OM为( ) abA.＋ |a||b|
ab→
B．λ(＋)，λ由OM确定 |a||b|a＋bC. |a＋b||b|a＋|a|bD. |a|＋|b|
ab
解析：选B.、分别表示与a、b同向的单位向量，如下图： |a||b|
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ab→→→ab
OA1、OB1分别表示、，按平行四边形法则可得：OC＝＋，四边形OA1CB1为菱
|a||b||a||b|→→→
形，则OC在∠AOB的平分线上，因此向量OM＝λOC，故选B.
→→→
5．已知两非零向量a、b不共线，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
→→→→→→→→
解析：选A.AD＝CD－CA＝CD＋AC＝CD＋AB＋BC＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝3a→→→
＋6b＝3(a＋2b)＝3AB.因为AD与AB有公共点A，所以A，B，D三点共线．
→→
6．设一直线上三点A、B、P满足AP＝λ PB(λ≠±1)，O是平面上异于A、B、P的任意一点，则下列表达式正确的是( )
→→→→→→A.OP＝OA＋λOB B.OP＝λOA＋(1－λ)OB →→
1→→OA＋λOB→1→
C.OP＝ D.OP＝ OA＋ OB λ1＋λ1－λ
解析：选C.依题意可知A、P、B三点共线，由三点共线的性质定理可知C正确． →→
7．若O为平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1＝__________. 1→1→
解析：3e2＝BC，2e1＝AB， 22
1→1→1→→1→→∴3e2－2e1＝BC－AB＝(BC－AB)＝BD＝BO. 2222→答案：BO
8．已知e是任一向量，a＝－2e，b＝5e，用a表示b，则其结果是__________． 1
解析：由a＝－2e，得e＝－a，代入b＝5e， 25可得：b＝－a. 25答案：b＝－a 29.
→→→如图所示，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝__________(用a、b表示)．
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→→→→
解析：MN＝MB＋BA＋AN 1→→3→＝－BC＋BA＋AC 241→→3→→＝－AD－AB＋(AB＋AD) 2413
＝－b－a＋(a＋b) 24111
＝b－a＝(b－a)． 4441
答案：(b－a) 4
10．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； 11
(2)[(2a＋8b)－(4a－2b)]； 32
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
解：(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b.
1
(2)原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)] 31
＝(－3a＋6b)＝2b－a. 3
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b ＝－2(m＋n)b.
11．已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？ 解：∵e1、e2共线，∴存在λ∈R，使e1＝λe2. ∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2， 3λ＋44∴a＝b(λ≠)， 36λ－8
4
∴a与b共线．当λ＝时，b＝0，a与b也共线． 3综上，a与b共线． 12.
1→→
如图所示，四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为边的平行四边形，且BM＝BC，CN
31→→→＝CD，试用a、b分别表示向量OM，ON，MN. 3
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优化方案数学必修4第二章§223课时活页训练
