不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 二、例题精讲
例1 解方程 3?x?1??13?x?1??2?x?1???x?1?
21分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)
项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。
解：移项，得3?x?1??合并，得
72121?x?1??2?x?1???x?1?
373?x?1???x?1?
去括号，移项，可解得 x= -5 评注：本题是整体处理思想的应用。
例2 解关于x的方程
m3?x?n??3414?x?m?
4mn?3m4m?3解：原方程整理得：(4m-3)x=4mn-3m 故 当4m-3≠0时，即m? 当4m-3=0时，即m? 此时，若n? 若n? 综上所述，当m? 当m? 当m?343434时，x?
94，
理数
时，方程为 0?x?3n?，则方程为 0?x?0，故方程的解为任何有，显然方程无解，时，x?,n?,n?3434 ；
数；
3434344mn?3m4m?3时，方程解为任何有理时，方程无解。
评注：含参方程必须对参数进行讨论。
?16x?3y?3z?10 (1)yz?x???? (1)例3 解方程组 (1) ?2 (2) ?3x?16y?3z?14 (2) 34??3x?3y?16z?20 (3)?4x?3y?4z?5 (2)?分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。
第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方
程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。
解：(1)设
x2?y3?z4?k，则x?2k,y?3k,z?4k，代入(2)得k=5
∴x=10，y=15，z=20 ?x?10? ∴原方程组的解为?y?15
?z?20?(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4)
(1)-(4)得13x=4，则x= (2)-(4)得13y=8，则y=
4138131413
(3)-(4)得13z=14，则z=
4?x??13?8?所以原方程组的解为?y?
13??z?14?13?评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。
例4 已知关于x，y的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？
分析1：将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。
解法1：将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5， ∵这个关于a的方程有无穷多个解，所以有 ?x?y?2?0?x?3，解得? ?
x?2y?5?0y??1???x?3 由于x、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解?
y??1?分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组?解法2：令a=1，得：3y+3=0 令a= -2，得：-3x+9=0 解方程组??3y?3?0??3x?9?0?3y?3?0??3x?9?0的解。
得??x?3?y??1，则??x?3?y??1就是所求的公共解。
将x=3，y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得：3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0
整理得0?a=0，说明无论a取什么值，方程总是成立。
评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得
出关于x、y的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。
例5 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解
解：由原方程得：x?y3y?4，则3x?3y3y?4?1?543y?4823
∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=，2，，1，，0
33 取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0
??x?1?x??1?x?0 所以方程的整数解为? ，，??y?2y?1y?0????评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
例6 求方程123x+57y=531的全部正整数解 解：方程两边同除以3得：41x+19y=177 所以 y?177?41x1919?9?2x?6?3x19
∵x、y是整数，∴
6?3x也是整数，取x=2得y=5
?x?2?19k?y?5?41k ∴方程123x+57y=531的整数解为：??2?19k?0?5?41k?0 (k为任意整数)
由? 得：-219?k?541 即k?0
因此方程123x+57y=531只有一组整数解??x?2?y?5
评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。
例7 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题)
分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。 解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次,根据题意得 ???9x?5y?2z?61x?y?z?10 我们求这个方程组的正整数解。
41?7x3 消去z得：7x+3y=41，于是y? 则x< y?417
，从而x的值只能是1，2，3，4，5
?13?2x?2?x341?7x3
由于y是整数，所以2-x必须是3的倍数，∴x=2，5
当x=2时，y=9，z= -1不是正整数；当x=5时，y=2，z= 3是本题的解。 答：小鸡至少被套中5次。
22
例8 解不等式：(1) (2x+1)-7<(x+m)+3x (x-1) (2) x?4?2x?3?1 解：(1) 原不等式可化为：(7-2m) x7272 即7-2m>0时，解为x<
m?67?2mm?67?2m1422
当m> 即7-2m<0时，解为x>
72
当m=
即7-2m=0，m2+6=184和32时，解为一切实数。
x的取值范围x?4与2x?3的零点分别是，由 零点分段法，可把 (2)
分为三段：x?
33;?x?4;x?422 当x? 当
3232时，原不等式可化为 -x+4+2x-3≤1，解得x≤0
?x?4时，原不等式可化为-x+4-2x+3≤1，解得x≥2
所以，原不等式的解为2≤x≤4
当x>4时，原不等式可化为x-4-2x+3≤1，解得x≥-2
所以，原不等式的解为x>4
综上所述，原不等式的解集为x≤0 或x≥2
评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于0、小于0、等于0
三种情况讨论。
2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。
例9 已知m、n为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n<0的解集为x? (m-4n) x+2m-3n>0 的解。
解：由(2m-n) x+3m-4n<0得：(2m-n) x<4n-3m，
?2m?n?0 (1)?4因为它的解集为x?，所以有?4n?3m ? (2)9?9?2m?n7由(2)得 n?m代入(1)得 m<0
875m5mx?把n?m代入(m-4n) x+2m-3n>0得 ?
8281∵m<0 ∴x??
4449，求不等式
