第1章 导数及其运用 1．1 导数的概念
一、学习内容、要求及建议
知识、方法 要求 建议 借助于导数概念形成的物理背景(瞬时速度)及几何背景(曲线切线的斜率)来理解如何从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而抽象出导数的概念． 理解导数的几何意义 导数的概念 了解 导数的几何意义 掌握 二、预习指导 1．预习目标
(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；
(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．预习提纲
(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式． (2)阅读教材，回答下列问题．
1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率? 2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率
①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?
②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x)) ．用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤． 3) 瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度 ①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义．
②给出位移－时间方程，如何求物体在时刻t0的瞬时速度?给出速度－位移方程，如何求物体在时刻t0的瞬时加速度?
4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念 ①请表述出函数在某一点处的导数的概念．
②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则． ③求导数的步骤是什么? ④导数的几何意义是什么?
⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤． (3)阅读课本例题，思考下列问题． 第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于多少? 对比第6页上例3与第9页上例1，给你怎样的启示?
第13页上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化．
3．典型例题
2例1 物体做直线运动的方程为s(t)=3t－5t(位移单位是m，时间单位是s)，求物体在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度． 分析： 利用公式
s(t2)?s(t1)．
t2?t1解： 2s到4s的平均速度
(3?42?5?4)?(3?22?5?2)?13?m/s?； v1?4?22s到3s的平均速度
(3?32?5?3)?(3?22?5?2)v2??10?m/s?
3?2例2 已知函数f(x)=2x＋1，图象上P(1，3)及邻近上点Q(1＋?x，3＋?y)，求分析： 应用公式
2
?y ?x?yf(x1??x)?f(x1)= ?x?x?y[2(1??x)2?1]?(2?12?1)?2?x?4 解： =
?x?x例3 已知函数f(x)=x，证明：函数f(x)在任意区间?m,m???(??0)上的平均变化率都
3
是正数． 分析： 应用公式
?yf(x1??x)?f(x1)=求出平均变化率，再进行配方． ?x?x?1?yf(m??)?f(m)(m??)3?m3?3m2?3m???2?3(m?)2??2 解：==
?24?x?恒为正数．
例4 已知曲线C：y?x，求
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点? 解：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1，? 切点P(1，1)
3(1??x)3?1?(?x)2?3?x?3， 设Q(1＋?x，?1+?x?)， kPQ=
?x3?x?0时，kPQ?3，
?过P点的切线方程为y－1=3(x－1)，即3x－y－2=0
(2)由??y?3(x?1)?13?y?x2，可得?x?1?x?x?2?0，得x1?1,x2??2
??从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)．
点评：切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点． 例5 已知曲线y?138x上一点P(2，)，求
33(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
分析： 先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程 解：(1)设P(2，
813)，Q(2＋?x，(2??x))， 3318(2??x)3?3?4?2?x?1(?x)2， 则割线PQ的斜率kPQ=3?x3当?x?0时，kPQ?4，即点P处的切线的斜率为4．
(2)点P处的切线方程为y?8?4(x?2)，即12x?3y?16?0． 3点评： 本题若将“点P处”改为“过点P”，应该如何解答呢? 例6 自由落体运动方程为s?12gt，(位移单位：m，时间单位：s)， 2(1)计算t从3秒到3．1秒、3．01秒、3．001秒各时间段内的平均速度； (2)求t=3秒时的瞬时速度． 分析： 要求平均速度，就是要求
?s的值，为此需要求出?s、?t．当?t的值无限趋向于?t0时，其平均速度就接近于一个定值． 解：(1)设在3，3．1内的平均速度为v1，则 ?t1=3．1－3=0．1s ?s1=s(3．1)－s(3)= 所以v1?11g?3.12－g?32=0．305gm
22?s10.305g??3.05g(m/s) ?t10.1?s20.03005g??3.005g(m/s) ?t20.01 同理v2? v3??s30.0030005g??3.0005g(m/s) ?t30.001 (2)
?ss(3??t)?s(3)1??g(?t?6) ?t?t2?s当?t无限趋近于0时，无限趋近于常数3g(m/s)．
?t2例7 求函数y?(2x?1)在x?3处的导数．
分析： 根据导数的定义，应先计算函数的增量?y，再计算的值．
解： Q?y?f(x0??x)?f(x0) ?[2(3??x)?1]?(2?3?1) ?4(3??x)?4(3??x)?1?25 ?4(?x)?20?x,
2222?y，最后求?x?0时，f?(3)?x?y4(?x)2?20?x??4?x?20 ??x?x当?x?0时，
?y?20， ?x?f?(3)?20．
例8 某化工厂每日产品的总成本C(单位：元)是日产量x(单位：吨)的函数：
C(x)?1000?200x?500x,x?[0,1000]．求当日产量为100吨时的边际成本(边际成
本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)．
分析： 根据边际成本的定义，本题只要求出当?x无限趋向于0时解：成本的增量为?C?C(100??x)?C(100)?
?C的值即可． ?x1000?200(100??x)?500100??x?(1000?200?100?500100)
?200?x?500100??x?5000 ??C200?x?500100??x?5000=
?x?x ?200?500(100??x?10)100??x?10 ??x100??x?10500 100??x?10 =200＋当?x?0时，
?C?C?225,即的极限为225．故当日产量为100吨时的边际成本为
?x?x225元/吨．
点评：本题计算过程中注意分子有理化的技巧． 4．自我检测
(1)若函数f(x)=2x－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则于 ．
(2)函数f(x)?log2x在区间2，4上的平均变化率为 ． (3)若函数f(x)?x，则[f(?2)]?＝ ．
2(4)已知函数f(x)?x，由定义求f?(x)，并求f?(4)．
32
?y等?x(5)如果函数y?f(x)在点x0处的导数分别为：
① f?(x0)?0 ② f?(x0)?1 ③f?(x0)??1 ④ f?(x0)?3 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角． 三、课后巩固练习
A组
1．函数f(x)=－3x＋1在区间[0，2]上的平均变化率为 ．
2．设函数y=f(x)，当自变量由x0变到x0＋?x 时，函数的改变量?y为 ．
2
3．函数f(x)=x－2在区间[1，a]的平均变化率为3，则a的值为 ．
2
4．在曲线y=x－x＋2上取点P(1，2)及邻近上点Q(1＋?x，2＋?y)，则
?y= ． ?x5．1995年中国人口约为12亿，2005年中国人口约为13亿，则从1995年到2005年这10年中中国人口的平均变化率是 ；1995年到2005年的人口增长率是 ． 6．已知函数y=ax＋bx，则
2
?y= ． ?x7．某工厂8年来总产量c(万件)与时间t(年)的函数关系如图，则第一年内总产量c的平均变化率是 ，第三年到第八年总产量的平均变化率是 ．
2
8．函数f(x)=－x在点(1，－1)处的切线的斜率为 ．
9．一物体运动方程是s=200＋
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gt，(g=9．8m/s)，3则t=3时物体的瞬时速度为 ．
2
10．若作直线运动的物体的速度(单位：m/s)与时间(单位：s)的关系为v(t)=t，则在前3s内的平均加速度是 ，在t=3时的瞬时加速度是 ．
11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)，与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系式：h(t)=－4．9t2＋6．5t＋10．试分别计算0?t?0.5s及1?t?2s时间内的平均速度． 12．已知函数f(x)=
1，分别计算函数f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1．1]，[1，1．01]x上的平均变化率．
13．将半径为R的球加热，若球的半径增加?R，求球体积的平均变化率．
3
14．已知某质点按规律s=(2t＋2t)(米)作直线运动．求： (1)该质点在运动前3秒内的平均速度； (2)质点在2秒到3秒的平均速度； (3)质点在3秒时的瞬时速度．
2
15．用割线逼近切线的方法，求曲线y= －x＋4x在点A(4，0)和B(2，4)处的切线的斜率及切线方程．
江苏省苏州市第五中学高中数学 1.1导数的概念学案 苏教版选修22
