2017-2018学年人教A版高中数学
必修五全册学案
目 录
§1.1.1 正弦定理（一） §1.1.1 正弦定理（二） §1.1.2 余弦定理（一） §1.1.2 余弦定理（二） §1.2 应用举例（一） §1.2 应用举例（二） §1.2 应用举例（三）
§1习题课 正弦定理和余弦定理 §1章末复习提升 §2 习题课 数列求和 §2 章末复习提升
§2.1 数列的概念与简单表示法（一） §2.1 数列的概念与简单表示法（二） §2.2 等差数列（一） §2.2 等差数列（二）
§2.3 等差数列的前n项和（一） §2.3 等差数列的前n项和（二） §2.4 等比数列（一） §2.4 等比数列（二）
I
§2.5 等比数列的前n项和（一） §2.5 等比数列的前n项和（二） §3.1 不等关系与不等式
§3.2 一元二次不等式及其解法（一） §3.2 一元二次不等式及其解法（二） §3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 §3.3.2 简单的线性规划问题
§3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2 （一） §3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2 （二） §3章末复习提升
II
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1．1.1 正弦定理(一)
[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一 正弦定理 1．正弦定理的表示
文字语言 符号语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝2R abc＝＝sin Asin Bsin C2.正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径． abc
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
2R2R2R
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. a＋b＋cabc
(4)＝＝＝. sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. 3．正弦定理的证明
(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义： absin A＝，sin B＝，
ccabcc
∴c＝＝＝＝，
sin Asin Bsin 90°sin C∴
abc＝＝． sin Asin Bsin C
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(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图， CD＝asin__B＝bsin__A， ∴
ab＝， sin Asin B
ac
同理，作AC边上的高BE，可得＝，
sin Asin C∴
abc＝＝. sin Asin Bsin C
(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图， 过B作BD⊥AC于D，则 BD＝asin(π－C)＝asin__C， BD＝csin__A，故有asin C＝csin__A， ∴
ac＝， sin Asin C
ababc＝，∴＝＝. sin Asin Bsin Asin Bsin C
同理，
思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B
解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B.
知识点二 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考 正弦定理能解决哪些问题？
答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
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题型一 对正弦定理的理解
例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b?sin 2A＝sin 2B b＋ca
C.＝ sin Asin B＋sin C
D．正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理得
abc＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，csin Asin Bsin C
＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a ≠b，故B错误． 根据比例式的性质易得C正确． 大边对大角，故D正确． 反思与感悟 (1)定理的内容：活使用定理的各种变形． ac
(2)如果＝，那么
bd
a＋bc＋d
＝(b，d≠0)(合比定理)； bda－bc－d＝(b，d≠0)(分比定理)； bda＋bc＋d＝(a>b，c>d)(合分比定理)； a－bc－d
a1a2ana1a2ana1＋a2＋…＋an
可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝. b1b2bnb1b2bnb1＋b2＋…＋bn跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( ) A．a>bsin A B．a＝bsin A C．a 解析 在△ABC中，B∈(0，π)，∴sin B∈(0，1]， ∴ 1 ≥1， sin B abc＝＝＝2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵sin Asin Bsin C 3
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