2017-2018学年人教A版高中数学
必修五全册学案
目 录
§1.1.1 正弦定理(一) §1.1.1 正弦定理(二) §1.1.2 余弦定理(一) §1.1.2 余弦定理(二) §1.2 应用举例(一) §1.2 应用举例(二) §1.2 应用举例(三)
§1习题课 正弦定理和余弦定理 §1章末复习提升 §2 习题课 数列求和 §2 章末复习提升
§2.1 数列的概念与简单表示法(一) §2.1 数列的概念与简单表示法(二) §2.2 等差数列(一) §2.2 等差数列(二)
§2.3 等差数列的前n项和(一) §2.3 等差数列的前n项和(二) §2.4 等比数列(一) §2.4 等比数列(二)
I
§2.5 等比数列的前n项和(一) §2.5 等比数列的前n项和(二) §3.1 不等关系与不等式
§3.2 一元二次不等式及其解法(一) §3.2 一元二次不等式及其解法(二) §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 §3.3.2 简单的线性规划问题
§3.4 基本不等式:√ab≤(a+b)2 (一) §3.4 基本不等式:√ab≤(a+b)2 (二) §3章末复习提升
II
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1.1.1 正弦定理(一)
[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.
知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示
文字语言 符号语言 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比都相等,该比值为三角形外接圆的直径 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则=2R abc==sin Asin Bsin C2.正弦定理的常见变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆的半径. abc
(2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
2R2R2R
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. a+b+cabc
(4)===. sin A+sin B+sin Csin Asin Bsin C(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 3.正弦定理的证明
(1)在Rt△ABC中,设C为直角,如图,由三角函数的定义: absin A=,sin B=,
ccabcc
∴c====,
sin Asin Bsin 90°sin C∴
abc==. sin Asin Bsin C
1
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(2)在锐角三角形ABC中,设AB边上的高为CD,如图, CD=asin__B=bsin__A, ∴
ab=, sin Asin B
ac
同理,作AC边上的高BE,可得=,
sin Asin C∴
abc==. sin Asin Bsin C
(3)在钝角三角形ABC中,C为钝角,如图, 过B作BD⊥AC于D,则 BD=asin(π-C)=asin__C, BD=csin__A,故有asin C=csin__A, ∴
ac=, sin Asin C
ababc=,∴==. sin Asin Bsin Asin Bsin C
同理,
思考 下列有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值;④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B
解析 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了,所以③正确;由正弦定理可知④正确.故选B.
知识点二 解三角形
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题?
答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
2
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题型一 对正弦定理的理解
例1 在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.a=b?sin 2A=sin 2B b+ca
C.= sin Asin B+sin C
D.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B
解析 在△ABC中,由正弦定理得
abc===k(k>0),则a=ksin A,b=ksin B,csin Asin Bsin C
=ksin C,故a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故A正确.
当A=30°,B=60°时,sin 2A=sin 2B,此时a ≠b,故B错误. 根据比例式的性质易得C正确. 大边对大角,故D正确. 反思与感悟 (1)定理的内容:活使用定理的各种变形. ac
(2)如果=,那么
bd
a+bc+d
=(b,d≠0)(合比定理); bda-bc-d=(b,d≠0)(分比定理); bda+bc+d=(a>b,c>d)(合分比定理); a-bc-d
a1a2ana1a2ana1+a2+…+an
可以推广为:如果==…=,那么==…==. b1b2bnb1b2bnb1+b2+…+bn跟踪训练1 在△ABC中,下列关系一定成立的是( ) A.a>bsin A B.a=bsin A C.a 解析 在△ABC中,B∈(0,π),∴sin B∈(0,1], ∴ 1 ≥1, sin B abc===2R,在运用正弦定理进行判断时,要灵sin Asin Bsin C 3
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