第三章 导数及其应用
考试内容 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值 导数在实际问题中的应用 §3.1 导数的概念及运算
考情考向分析 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．
等级要求 A B B B B
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为Δy平均变化率可表示为. ΔxΔy(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝Δxf?x2?－f?x1?
，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则
x2－x1
f?x0＋Δx?－f?x0?
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)
Δx在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α为常数) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝lnx f(x)＝logax(a>0，a≠1)
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex f′(x)＝axlna f′(x)＝ xf′(x)＝ xlna11?f?x??′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?(g(x)≠0)．
?g2?x??g?x??
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 概念方法微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (3)(2)′＝x·2
2xxx－1
.( × )
2x(4)若f(x)＝e，则f′(x)＝e.( × ) 题组二 教材改编
2．[P26T2]若f(x)＝x·e，则f′(1)＝. 答案 2e
解析 ∵f′(x)＝e＋xe，∴f′(1)＝2e. 3．[P26T3]曲线y＝1－答案 2x－y＋1＝0
2
解析 ∵y′＝2，∴y′|x＝－1＝2.
?x＋2?∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝. 2
答案 －
3
2
解析 因为f′(x)＝－－2sin 2x，
3－2x2
所以f′(0)＝－.
3
2
在点(－1，－1)处的切线方程为． x＋2
xxx?π??π?5．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′??sinx＋cosx，则f′??＝. ?2??4?
答案 －2
?π?解析 因为f(x)＝f′??sinx＋cosx，
?2??π?所以f′(x)＝f′??cosx－sinx， ?2?
π?π??π?π
所以f′??＝f′??cos－sin，
22?2??2?
?π?即f′??＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx， ?2?
f′(x)＝－cosx－sinx.
ππ?π?故f′??＝－cos－sin＝－2. 44?4?
6．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为． 答案 1
1
解析 ∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.
x又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)， 即y＝(a－1)x＋1.故l在y轴上的截距为1.
题型一 导数的计算
2
1．已知f(x)＝sin?1－2cos?，则f′(x)＝.
4?2?1
答案 －cosx
2
x?x?
x?x?1
解析 因为y＝sin ?－cos ?＝－sin x，
2?2?2
11?1?所以y′＝?－sin x?′＝－(sin x)′＝－cos x. 22?2?2x－1
2．已知f(x)＝ln，则f′(x)＝.
2x＋1答案
4
4x－1
2
?2x－1?′＝1?2x－1?′
解析 y′＝?ln ???2x－1?2x＋1??2x＋1?
2x＋1
＝
2x＋1??2x－1?′?2x＋1?－?2x－1??2x＋1?′?4
·?＝2. 2??2x＋1?2x－1??4x－1
3．f(x)＝x(2024＋lnx)，若f′(x0)＝2024，则x0＝. 答案 1
1
解析 f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x，
x
由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x＋2x·f′(1)，则f′(0)＝. 答案 －4
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程 例1(1)已知函数f(x＋1)＝答案 1
2x＋12x－11
解析 由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.
x＋1xx1
∴f′(x)＝2，∴f′(1)＝1.
2x＋1
，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为． x＋1
2
x由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.
(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上， ∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.
??y0＝x0lnx0，∴由?
??y0＋1＝?1＋lnx0?x0，
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
(江苏专用)2024版高考数学复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算教案
