20．（本题满分15分）已知数列{an}满足：an?2?3an?1?2an，a1?1,a2?3，记bn?为数列{bn}的前项和．
（Ⅰ）求证：{an?1?an}为等比数列，并求an ； （Ⅱ）求证：Sn?
21．（本题满分15分）已知抛物线C:y?ax(a?0)上的点P(b,1)到焦点的距离为（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图，已知动线段AB（在右边）在直线y?x?2上，且|AB|?23n?1 ，记Snan?1?173n?7? ． 22n?15． 4y2，
M现过作的切线，取左边的切点M，过作的切线，取右边的切点为，当
NMN//AB，求点的横坐标的值．
ax22．（本题满分15分）已知函数f(x)?x?a2x?3，函数g(x)?ke，a?R，k?R．
AOBx（Ⅰ）求函数f(x)单调区间；
（Ⅱ）若1?a?2，f(x)?1?g(x)对x?[,??)恒成立，求的取值范围． （e=2.71828…为自然对数的底数）
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参考答案
1． B AUB?{?2,?1,0,1}，所以CU(AUB)={2} 2． C z??i21???i 1?2i5523．A V???2?4?4．D y???22?43?32? 33zx?，有图像知取(1,?1)，最大值为5 225．D 因0?a?1,?1?b?0，有图像变换可知
(a?b)2(a?b)222?2，而a?b?6．A 因为 a?b?2可知，
227．C 计算可知D(X)?3?(2a?)2??4(a?)2?3
2228．B设F2A?3x,F2B?2x,F1A?2a?3x,F1B?2a?2x，则(5x)?(2a?3x)?(2a?2x)，可知
1316x??F1AB55a53?，AB?a,AF1?a，cos?F1AB?，sin，因为顶点，则e? 255335oooo9．D 翻折到180时，AB,BC所成角最小，可知?1?30，AD,BC所成角最小，?2?0，翻折0时，
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AB,BC所成角最大，可知?1?90o，翻折过程中，可知AD的投影可与BC垂直，所以AD,BC所成最
o????大角?2?90，所以 ?1?90,?1?30，?2?90,?2?0
10．C 图像y?x?1?x2?x?1与y?x有两个交点
(0,0),(1,1)，利用蛛网图，可知当a1?0，则数列递减，所以
321yan?0，当0?a1?1，则数列递增，并且an趋向1，可知当a1?1，则数列递减，并且an趋向1，则可知A，B错误，又当
O1xx?1，
1313y?x?1?x2?x?1?x?1?(x?)2??x?1?(x?)?2422333，则当a1?1，a2一定小于，则之后均小于，所以D错 ，对于C可取a1?，满足要求
22211．4,y??3x, 因a?1,b?3,c?2, 12．?2,?2?144,cos?? 由定义知tan???2，sin??，则sin2??2sin?cos???
555513．,13555532)? T4?C5(x)( ，T2?T3的系数最大为
424223x91 设AD?3x,CD?4x 在?ABC中，由余弦定理可知25?49x2?9?2?3?7x?，可知2x14．58 x?583139? ,AC?7x?58，sin?A?，S??3?58?7258582?1?522 t?x?2x?a?(x?1)?a?1 f(t)?0 可知 t??1?1?a 因 t?f(x) ，可 2?1?5 215．a?知 ?1?1?a?f(x)有三解，有图像知?1?1?a?a?1 解得 a?另解：可知f(f(?1))?0，(a?1)?2(a?1)?a?0，a?0，可知a?2?1?5 216．40 分高三学生单独去志愿点，或与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，共有
111(2?C2?C2?C2)?2?2种
uuuvuuuvv2AGAE11uuu117．3?1 因?AGE与?PGD相似， 则AG?AP???AP?(1?2?2)，
GPDP2?1?2?1?2?uuuvuuuvt2?2t?313?(t?)?1?3?1，当且仅当，t?3，即令t?1?2?(1?t?3)，则AG?AP?2t2t 第 8 页 共 12 页
??3?1?(0,1)取到 218．（本题满分14分） （Ⅰ）f(x)?33?sinx?cosx?3sin(x?)（3分） 226 所以函数f(x)的周期为2?，f()?3sin?22?3? （7分） 321?cos(2x?)23，（Ⅱ）由（Ⅰ），则y?f?x??3?（10分）
2因x?[0,??2]， 2x???4??1?[,]，cos(2x?)?[?1,]（12分） 3333234则y?f2?x?的取值范围为[,3]（14分）
（Ⅱ）另解：因x?[0,则y?f2?2]， x???3?2??[,]，所以3sin(x?)?[,3]（11分）
62663?x??[3,3]（14分） 419．（本题满分15分）解法（1）：
（Ⅰ）证：取AD的中点，连结PO,EO,由PO?AD,EO?AD,POIEO?O可知
AD?面PEO,且PE?面PEO,则AD?PE.（6分）
（Ⅱ）法一：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）
作PQ?CD,PH?OE,连HQ，因PH?平面ABCD，知HQ?CD，由?PDC?60o知DQ?1，
OH?DQ?1，由PO?3,在Rt?PHO中，可知PH?2,则P1,0,2（10分）
??A?0,?1,0?，D?0,1,0?，E?3,0,0?, uuuruuuruuur则PD??1,1,?2,DE??3,?1,0?,PA??1,?1,?2
r设平面PDE的法向量为n??x,y,z?，
????r??3x?y?0则?得n?1,3,2为其中一个法向量，（12分）
-x?y-2z=0????设直线PA与平面PDE所成角为，则
uuurruuurrPA?n3sin??cosPA,n?uu,（14分） urr?2PA?n 第 9 页 共 12 页
则直线PA与平面PDE所成角为60o.（15分） 法二：（体积法）
设点A到面PDE的距离为，法一中已知点P到面ABCD的距离PH为2，则PE?6（9分）
?PDE中，PD?2,DE?10,PE?6,所以?PDE为直角三角形，由VA?PDE?VP?ADE可知 1111S?PDE?h?S?ADE?2??6?2?h??2?3?2?h?3，（12分） 3322设直线PA与平面PDE所成角为，则sin??h3,（14分） ?PA2则直线PA与平面PDE所成角为60o.（15分） 20．（本题满分15分）
（Ⅰ）因为an?2?an?1?2(an?1?an) ，所以数列{an?1?an}是公比为2的等比数列，（3分）
n?1nn则an?1?an?2?2?2， an?a1?(a2?a1)?(a2?a1)?L?(an?an?1)=2?1 （7分）
（Ⅱ）法1：因3n?4?3n?7?3n?4?3n?1，所以11?
3n?4?3n?73n?4?3n?1则
3n?7?3n?43n?4?3n?1?，所以3n?1?3n?7?23n?4（10分）
333n?13n?1?3n?7?3n?723n?4?3n?73n?43n?7???? （13分） 2n?12n?12n?12n2n?171010133n?43n?773n?7?2)?(2?3)?K?(?)?? （15分） 22222n2n?122n?173n?73n?1S??， nn?1n?1222又bn?Sn?(法（2）（数学归纳法）bn?①当n?1时，S1?4710?，右边，只要证：4?10?27，
42422只要证：(4?10)?(27)，只要证：40?7，所以n?1成立（9分）
②假设n?k成立，即Sk?则当n?k?1，Sk?1?Sk?73k?7?， 22k?13k?473k?73k?473k?10???S??，要证：，只要k?12k?222k?12k?222k?2证：
3k?43k?103k?7??，只要证：3k?4?3k?10?23k?7， k?2k?2k?1222只要证：23k?43k?10?6k?14成立，所以当n?k?1成立（14分）
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浙江省稽阳联谊学校 2020届高三下学期4月联考 (数学)(含答案)
