阿波罗尼斯圆性质及其应用
背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一
（人教A版124页B组第3题）已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为2，求点M的轨迹方程。
（人教A版144页B组第2题）已知点M与两个定点??1，??2距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m≠1两种情形）。
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公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）
定义：一般的平面内到两顶点A，B距离之比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆
类型一：求轨迹方程
1.已知点M与两个定点O?0,0?，A?3,0?的距离的比为
2.已知AB?2a?a?0?，
MAMB?????0?，试分析M点的轨迹
1，求点M的轨迹方程 23.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|????|=2|????|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A．π B. 4π C.8π D.9π
类型二：求三角形面积的最值
4.（2008江苏卷）满足条件AB ? 2，AC ? 2BC的?ABC的面积的最大值是
5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=3，则△ABC面积的最大值为
6.在△ABC中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=3时△ABC面积的最大，m=
类型三：定点定值问题
7. 已知圆O：??2+??2=9,点B(-5,0),在直线OB上存在定点A(不同于点B)，满足对于圆O上任意一点P，都有????为一常数，试求所有满足条件的点A的坐标，并求????
????
????
??
8.（2014湖北文科卷17题）已知圆O：??2+??2=1,点A(-2.0),若定点B(b,0)(b≠?2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|????|=??|????|，则?? = ,??=
类型四：阿波罗尼斯圆的性质
9. 已知圆C:(???1)2+(???1)2=1,定点??(0,0),??(2,0),其中P为圆C上的动点，则√2PO+PB的最小值为
10.已知函数??(??)=2√(cosα+2)2+??????2α?√??????2α+(sinα?2)2,若集合{α∈R|??(??)>??}≠?,则实数??的取值范围为
类型五：阿波罗尼斯圆的应用
阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）
2????
???? ,设??(??,??)=|????????? |,11.已知BC=6，AC=2AB，点D满足????? ????=??+??????? ????+2(??+??)?????
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若??(??,??)≥??(??0,??0)恒成立，则??(??0,??0)的最大值为
12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点P是
uuuruuuruuur?ABC所在平面内动点，满足CP??CA??CB,3?+4??2（?,??R），
uuuruuuruuurPA=PB=PC．若AB?3，则?ABC的面积最大值是 ．
阿波罗尼斯圆与三角形
13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a,b满足|??|=3，|??|=2|?????|，若|??+λ??|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为
14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在△ABC中，?λ∈????? ?λ????????? |≥|????????? |恒成立，求??+??的最大值 R，|????
????
(完整版)阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)
