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u(xi)-- 输入量xi的标准不确定度，
r(xi, xj)-- 输入量xi与xj的相关系数，r(xi, xj) u(xi) u(xj)
= u(xi, xj) 是输入量xi与xj的协方差。
公式（23）被称为不确定度传播律。
公式（23）是计算合成标准不确定度的通用公式，当输入量间相关时，需要考虑它们的协方差。
当各输入量间均不相关时，相关系数为零。被测量的估计值y的合成标准不确定度uc(y)按公式（24）计算： uc(y)??[i?1N?f22]u(xi) （24） ?xi 当测量函数为非线性，由泰勒级数展开成为近似线性的测量模型。若各输入量间均不相关，必要时，被测量的估计值y的合成标准不确定度
uc(y)的表达式中必须包括泰勒级数展开式中的高阶项。当每个输入量Xi都是正态分布时，考虑高阶项后的uc(y)可按公式（25）计算：
NN?f221?2f2?f?3f22)?]u(x)u(xj) （25） uc(y)??[]u(xi)???[(i2?xi?xi?xji?1?xii?1j?12?xi?xjN常用的合成标准不确定度计算流程见图4。
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根据测量模型列出uc(y)的表达式 求灵敏系数ci=?f/?xi 评定u(xi) 计算ui(y)=|ci|u(xi) 不相关 分量间相关否？ 相关 uc(y)= 2?ui(y) uc(y)= 2?ui(y)?相关项分量 uc(y) 必要时给出?eff
图4 合成标准不确定度计算流程图
4.4.2 当输入量间不相关时，合成标准不确定度的计算 对于每一个输入量的标准不确定度u(xi)，设ui(y)??fu(xi)为相应的?xi输出量的标准不确定度分量，当输入量间不相关，即r(xi, xj)=0时， 则公式（24）可变换为公式（26）： uc(y)??ui?1N2i(y) (26)
4.4.2.1 当简单直接测量，测量模型为y=x时，应该分析和评定测量时导致测量不确定度的各分量ui，若相互间不相关，则合成标准不确定度按公式(27)计算： uc(y)??ui?1N2i (27)
注：例如:用卡尺测量工作的长度,测得值y就是卡尺上的读数x.要分析
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用卡尺测量长度时影响测得值的各种不确定度来源,例如卡尺的不准, 温度的影响等.这种情况下，应注意要将测量不确定度分量的计量单位折算到被测量的计量单位。例如温度对长度测量的影响导致长度测量结果的不确定度，应该通过被测件材料的温度系数将温度的变化折算到长度的变化。
4.4.2.2 当测量模型为Y=A1X1+A2X2+…+ANXN且各输入量间不相关时，合成标准不确定度可用公式(28)计算： uc(y)??Auii?1N22(xi) (28)
PPP4.4.2.3 当测量模型为Y?A(X11X22?XNN)且各输入量间不相关时，
合成标准不确定度可用公式(29)计算： uc(y)/y??[Pu(x)/x]iiii?1N2 (29)
当测量模型为Y?A(X1X2?XN)且各个输入量间不相关时， uc(y)/y??[u(x)/x]iii?1N2 (30)
注：只有在测量函数是各输入量的乘积时，可由输入量的相对标准不确定度计算输出量的相对标准不确定度。
4.4.3 各输入量间正强相关，相关系数为1时，合成标准不确定度 应按公式(31)计算： uc(y)??[i?1N?f]u(xi) （31） ?xi若灵敏系数为1，则公式(31)变换为公式(32):
uc(y)??u(xi) （32）
i?1N(注：当各输入量间正强相关，相关系数为1时，合成标准不确定度不是各标准不确定度分量的方和根而是各分量的代数和。)
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4.4.4 各输入量间相关时合成标准不确定度的计算 4.4.4.1 协方差的估计方法
a) 两个输入量的估计值xi与xj 的协方差在以下情况时可取为零或忽略不计：
1） xi和xj中任意一个量可作为常数处理，
2） 在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值， 3） 独立测量的不同量的测量结果。
b) 用同时观测两个量的方法确定协方差估计值。
1）设xik，xjk分别是Xi及Xj的测得值。下标k为测量次数（k=1，2，…，
n）。xi,xj分别为第i个和第j个输入量的测得值的算术平均值；两个重
复同时观测的输入量xi，xj的协方差估计值u(xi,xj)可由公式(33)确定：
1n u(xi,xj)??(xik?xi)(xjk?xj) （33） n?1k?1例如：一个振荡器的频率与环境温度可能有关，则可以把频率和环境温度作为两个输入量，同时观测每个温度下的频率值，得到一组tik，fjk数据，共观测n组。由式（33）可以计算它们的协方差。如果协方差为零，说明频率与温度无关，如果协方差不为零，就显露出它们间的相关性，由公式（23）计算合成标准不确定度。
2）当两个量均因与同一个量有关而相关时，协方差的估计方法： 设 xi=F(q)，xj =G(q)
式中，q为使xi与xj 相关的变量Q的估计值，F，G分别表示两个量与q的测量函数。则xi与xj 的协方差按公式(34)计算： u(xi,xj)??F?G2u(q) （34） ?q?q如果有多个变量使xi与xj 相关， 当：
xi=F(q1, q2,…, qL) , xj =G(q1, q2,…, qL) 时协方差为：
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u(xi,xj)???F?G2u(qk) （35）
?qk?qkk?1L(注：例如在得到两个输入量的估计值xi和xj时，是使用了同一个测量标准、测量仪器或参考数据或采用了相同的具有相当大不确定度的测量方法，则xi和xj两个量均因与同一个量有关而相关。) 4.4.4.2相关系数的估计方法
a) 根据对x和y两个量同时测量的n组测量数据，相关系数的估计值按公式(36)计算： r(x,y)??(x?X)(y?Y)iii?1n(n?1)s(x)s(y) （36）
式中，s(x)，s(y)---为X和Y的实验标准偏差。 b) 如果两个输入量的测得值xi和xj相关，xi变化?i会使xj相应变化
?j，则xi和xj的相关系数可用以下经验公式(37)近似估计：
r(xi,xj)?u(xi)?ju(xj)?i （37）
式中，u(xi)和u(xj)---xi和xj的标准不确定度。 4.4.4.3 采用适当方法去除相关性
a）将引起相关的量作为独立的附加输入量进入测量模型。
例如，若被测量估计值的测量模型为y=f(xi, xj),在确定被测量Y时，用某一温度计来确定输入量Xi估计值的温度修正值xi，并用同一温度计来确定另一个输入量Xj估计值的温度修正值xj，这两个温度修正值xi和xj就明显相关了。 xi=F(T)，xj=G(T)，也就是说 xi和xj都与温度有关，由于用同一个温度计测量，如果该温度计示值偏大，两者的修正值同时受影响，所以y=f(xi, xj)中两个输入量xi和xj是相关的。然而，只要在测量模型中把温度T作为独立的附加输入量，即y=f(xi, xj,, T)，该附加输入量具有与上述两个量不相关的标准不确定度。则在计算合成标准不确定度
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JJF1059.1-2012规程测量不确定度评定与表示 - 图文
