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计算标准不确定度u(x) u(x)?s(x)?s(xk) n 图2 标准不确定度A类评定流程图
4.3.2.2 贝塞尔公式法
在重复性条件或复现性条件下对同一被测量独立重复测量n次，得到n个测得值xi（i=1，2，…，n），被测量X的最佳估计值是n个独立测得值的算术平均值x,按公式(8)计算：
1nx??xini?1 (8)
(每个测得值xi与x之差称为残差vi：vi?xi?x) 单个测得值xk 的实验方差s2(xk)按公式(9)计算：
1n(xi?x)2 (9) s(xk)??n?1i?12单个测得值xk的实验标准偏差s(xk)按公式(10)计算：
1n(xi?x)2 （10） s(xk)??n?1i?1式（10）就是贝塞尔公式,自由度ν为n-1。实验标准偏差s(xk)表征了单个测得值的分散性，测量重复性用s(xk)表征。
被测量估计值x的A类评定的标准不确定度u(x)按公式(11)计算： u(x)?s(x)?s(xk)/n （11） A类评定的标准不确定度u(x)的自由度为实验标准偏差s(xk)的自由度，即ν=n-1。(式中n为获得x时的测量次数)。实验标准偏差s(x)表征了被测量估计值x的分散性。 4.3.2.3 极差法
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一般在测量次数较少时,可采用极差法获得s(xk)。在重复性条件或复现性条件下，对Xi进行n次独立测量，测得值中的最大值与最小值之差称为极差，用符号R 表示。在Xi可以估计接近正态分布的前提下，单次测得值
xk的实验标准差s(xk)可按公式(12)近似地评定：
s(xk)?R (12) C式中: R-- 极差，C--极差系数, 极差系数C 及自由度ν由表1得到：
表1 极差系数C及自由度ν
n 2 1.13 0.9 3 1.64 1.8 4 2.06 2.7 5 2.33 3.6 6 2.53 4.5 7 2.70 5.3 8 2.85 6.0 9 2.97 6.8 C ν 被测量估计值的标准不确定度按公式(13)计算： u(x)?s(x)?s(xk)/n?RCn （13）
例：对某被测件的长度进行4次测量的最大值与最小值之差为3cm，查表1得到极差系数C 为 2.06，则由A类评定得到的长度测量的标准不确定度为：
u(x)?s(x)?R?Cn3?0.73cm，自由度ν
2.06?4=2.7。
4.3.2.4 测量过程合并样本标准偏差的评定
对一个测量过程，采用核查标准和控制图的方法使测量过程处于统计控制状态，若每次核查时测量次数nj（自由度为νj），每次核查时的实验标准偏差为sj ，共核查m次，则统计控制下的测量过程的标准不确定度可以用合并样本标准偏差sp表征。测量过程的实验标准偏差按公式(14)计算：(加权统计平均)
s(x)?sP?(??s)/??j) (14)
2jjj?1j?1mm若每次核查的自由度相等（即每次核查时测量次数相同），则合并实
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验标准偏差按公式(15)计算：
sp?s?i?1m2jm （15）
式中: sp--合并标准偏差,是测量过程长期组内标准偏差的统计平均值；
sj--第j次核查时的实验标准偏差； m--核查次数。
在过程参数sp已知的情况下，由该测量过程对被测量X在同一条件下进行n次独立重复观测，以算术平均值为被测量的最佳估计值，其A类评定的标准不确定度按公式（16）计算：
u(x)?s(x)?sp/n （16） 在以后的测量中，只要测量过程受控，则由上式可以确定测量任意次时被测量估计值的A类评定的标准不确定度。若只测一次，即n=1，则
u(x)?sp/n = sp。
4.3.2.5 在规范化的常规检定、校准或检测中评定合并样本标准偏差
例如使用同一个计量标准或测量仪器在相同条件下检定或测量示值基本相同的一组同类被测件的被测量时，可以用该一组被测件的测得值作测量不确定度的A类评定。 若对每个被测件的被测量
xi在相同条件下进行n次独立测量，有
xi1,xi2,?,xin，其平均值为xi，若有m个被测件，则有m 组这样的测得值，可
按公式（17）计算单个测得值的合并标准偏差sp(xk)：
mn122sp(xk)?(x?x)?u(xi) (17) ??ijim(n?1)i?1j?1式中，i=(1，2，…，m)为组数,j=(1，2，…，n)为每组测量的次数。 公式（17）给出的sp(xk)，其自由度为 m（n-1）。
若对每个被测件已分别按n次重复测量算出了其实验标准偏差si，则m组的合并标准偏差sp(xk)可按公式（18）计算：
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1m2sp(xk)?si (18) ?mi?1当实验标准偏差 si 的自由度为ν0时，公式（18）给出的sp(xk) 的自由度为 mν0 .
若对m个被测量Xi分别重复测量的次数不完全相同，设各为ni，而Xi的标准偏差s(xi)的自由度为?i?ni?1，通过m个si与?i可得sp(xk),可按公式(19)计算：
sp(xk)?1??i2?s?ii (19)
m公式(19)给出的sp(xk)的自由度为????i。
i?1由上述方法对某个被测件进行n?次测量时, 所得被测量最佳估计值的A类评定的标准不确定度为：
u(x)?s(x)?sp(xk)/n?
用这种方法可以增大评定的标准不确定度的自由度,也就提高了可信程度。
4.3.2.6 预评估重复性
在日常开展同一类被测件的常规检定、校准或检测工作中，如果测量系统稳定，测量重复性无明显变化，则可用该测量系统以与测量被测件相同的测量程序、操作者、操作条件和地点，预先对典型的被测件的典型被测量值，进行n次测量（一般n不小于10），由贝塞尔公式计算出单个测得值的实验标准偏差s(xk)，即测量重复性。在对某个被测件实际测量时可以只测量n?次（1≤n?＜n），并以n?次独立测量的算术平均值作为被测量的估计值，则该被测量估计值由于重复性导致的A类标准不确定度按公式(20)计算:
u(x)?s(x)?s(xk)/n? （20） 用这种方法评定的标准不确定度的自由度仍为?= n -1。应注意，当怀疑
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测量重复性有变化时，应及时重新测量和计算实验标准偏差s(xk)。 (例：在对压力计校准中，我们预先对与被校压力计同类的压力计的典型刻度上测量10次（n=10），用贝塞尔公式计算出测量系统的重复性s(xk)，然后在重复性条件下，对被校压力计的刻度进行5次测量（n?=5），取5次测量的平均值作为被测量的估计值，则由测量重复性引入的标准不确定度分量用A类评定为：uA?s(xk)/5，自由度?= 10 -1=9。)
4.3.2.7 当输入量Xi的估计值xi是由实验数据用最小二乘法拟合的曲线上得到时，曲线上任何一点和表征曲线拟合参数的标准不确定度，可用有关的统计程序评定。如果被测量估计值xi在多次观测中呈现与时间有关的随机变化，则应采用专门的统计分析方法，例如频率测量中，需采用阿伦标准偏差（阿伦方差）。
4.3.2.8 A类评定方法通常比用其他评定方法所得到的不确定度更为客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。此外，这一测量程序中的重复测量所得的测得值，应相互独立。
4.3.2.9 A类评定时应尽可能考虑随机效应的来源，使其反映到测得值中去。 注: 例如：
1 若被测量是一批材料的某一特性，A类评定时应该在这批材料中抽取足够多的样品进行测量，以便把不同样品间可能存在的随机差异导致的不确定度分量反映出来；
2 若测量仪器的调零是测量程序的一部分，获得A类评定的数据时 应注意每次测量要重新调零，以便计入每次调零的随机变化导致 的不确定度分量；
3 通过直径的测量计算圆的面积时，在直径的重复测量中，应随机地选取不同的方向测量；
4 在一个气压表上重复多次读取示值时，每次把气压表扰动一下，然后让它恢复到平衡状态后再进行读数。
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