2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题16基本不等式的应用
考点命题分析
1综述 1.1高考定位
高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识. 1.2应考策略
掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验. 1.3知识解读
从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.
从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有
等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不
等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.
从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等.
1.4常用变式
两
边
同
.
两边同除以a，两边同除以b，两边同除以ab，用－a代替a，用
代替a，b，
.
. . .
.
加
1.5应用方式
“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用. 利用基本不等式
时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一
时，要注意“积定和最大，和定积最
边为定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式
小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.
2问题精解
2.1利用基本不等式求最值
要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值. 2.1.1运用换元变换，简化条件关系 例1求函数
的最小值.
，发现
，即
思路探求:如果利用基本不等式
x2+3=2不成立，故不能直接运用基本不等式求解.
解法1:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，可以通过换元，转化为相应的函数的最
值.可以设t=x2+3(t≥3)，将“而函数
在
”的最小值问题转化为“求函数内是单调递增函数，故当t=3时，函数
，的最小值”.
取得最小值.
解法2:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值需要的“定值”和“相等”就必须通过变形，变换出满足条件的形式结构. 可以将“
”变形为“
的最小值是.
”，
当且仅当t=3时，等号成立，故
解法3:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，还可以运用函数的最值概念求最小值.
恒成立，当且仅当x2=0时，等号成立，故最小值是.
方法点睛:基本不等式在求函数最值时具有重要价值，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，在条件不满足的情况下是否能够求解或者转化.若等号取不到，要考虑借助函数图像，利用函数单调性求解最值. 2.1.2选择消元变形，构造数量关系 例2若正数a，b满足
，求
的最小值，并求此时a，b的值.
解法1:已知条件从形式上认为是两项之和，问题的类型是求最小值，所以根据基本不等式的结构特点，需要寻找乘积是定值的条件.将
变形为(a－1)(b－1)=1，故
，当且仅
当故
时，等号成立，此时的最小值是4.
.
解法2:用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最值的形式呈现的，采用消元将问题转化为单变量问题.在此基础上，或直接求最值，或换元法后求最值，都可以将难度有效降低.由以得到
，故b>1.
，可
因此最小值是4. 解法3:由条件
，当且仅当b－1=2时，等号成立，此时，故的
的形式联想到三角换元.令，代入，从而有
，当且仅当时等号成立，此时，即，故
的最小值是4.
方法点睛:根据已知的条件形式，合理地选择方法，简洁准确地求解，是解决问题的重点和目标，需要总结、反思和积累.
2.1.3分析最值类型，转化结构关系 例3设x，y为实数，若
，则2x+y的最大值是
.
解法1:问题的运算从形式上理解是两项的和，类型是求最大值，所以根据基本不等式的结构特点，可以转化为两项积的最大值问题. 由而当
，故只要求xy的最大值即可. ，故xy的最大值是，所以
时，等号成立.所以2x+y的最大值是
.
，即
.
解法2:如果引入目标变量，令2x+y=t从解关于x，y的二元方程组角度理解，转化为求t的取值范围，使得x，y的方程组有解，由判别式的最大值是
.此时
.
，
.
有解，消去y，得到关于x的一元二次方程构造目标变量的不等式，可以解得
，所以2x+y
解法3:利用配方变形得到故有
由(2x－y)2≥0，可知，当2x－y=0时等号成立，所以2x+y的最大值是.
方法点睛:总的来说，条件不等式求最值，消元法比凑项法简洁，而且消元法可以解决中学所涉及的多数条件不等式求最值问题.
2.2基本不等式在实际问题中的应用
要点:构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题.
例4：如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设
.
(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.
(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)? 思路探求:将实际问题转化为数学问题，再求最值. 解:(I)
.
，
所以所以周长(Ⅱ)当且仅当
时，等号成立.
.
.
为定值.
，
.
所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为
方法点睛:实际应用题的解题步骤一般分为两步，第一步将实际问题转化为数学问题；第二步求最值，最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法，应用基本不等式求最值时一定要注意检验条件是否具备. 2.3基本不等式与其他知识的综合应用
要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用. 例5已知函数
.
(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论； (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；
(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围.
思路探求:(1)利用定义判断函数的单调性；2)利用分类讨论的方法解含参数的不等式；(3)利用分离参数的方法解不等式恒成立问题. 解:(I)任取
，且
.
高考数学二轮复习 专题16基本不等式的应用（解析版）
