s????即 2?2co??（Ⅱ）?0???43. ?cos??????. 55?2,??2???0,?0??????.
34，?sin??????. 55512. ?sin???，?cos??1313 ?cos????????sin????? ?sin??????4123?5?33????????. 5135?13?65??sin????co?s??c?o?s??
?sin例题10 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N
??????????????m?1满足|AE|?m|EF|（），MNAF?（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
????1?????????????????ON?(OA?OF)，AM//ME． ?0，
2，若1≤?≤2，
??????m（Ⅱ）点P(,y0)在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且PF?FQ?2求实数m的范围．
????1?????????????????解：（Ⅰ）∵MN?AF?0，ON?(OA?OF)，
2∴ MN垂直平分AF．
?????????又AM//ME，∴ 点M在AE上，
?????????????????????????∴ |AM|?|ME|?|AE|?m|EF|?2m，|MA|?|MF|， ????????????∴ |ME|?|MF|?2m?|EF|，
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a?m，半焦距c?1， ∴ b?a?c?m?1．
2222x2y2?1（m?1）∴ 点M的轨迹W的方程为2?2．
mm?1
（Ⅱ）设Q(x1,y1)
????????m∵ P(,y0)，PF??FQ，
2?m?1???(x1?1),∴ ? ∴ 2???y0??y1.
1m?x?(??1?),1???2 ??y??1y.1??0?- 11 -
由点P、Q均在椭圆W上，
2?1y0?1,??2m2?m?14m?1?∴ ? 消去y0并整理，得??， 22m?1y0?1(??1?m)2??1.22?2?2(m2?1)??mm2?m?1≤2及m?1，解得1?m≤2． 由1≤2m?1基础练习题
1、设平面向量a=(－2，1)，b=(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
1211C、(?,??) D、(??,?)
22A、(?,2)?(2,??) B、(2,??) 答案：A
点评：易误选C，错因：忽视a与b反向的情况。
2、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
OP?OA??(AB|AB|?AC|AC|),??[0,??),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B。 错误原因：对OP?OA??(AB|AB|?AC|AC|),??[0,??)理解不够。不清楚AB|AB|
?AC|AC|与∠BAC的角平分线有关。
3、若向量 a=(cos?,sin?) ， b=?cos?,sin??， a与b不共线，则a与b一定满足（ ）
A． a与b的夹角等于?-? C．(a+b)?(a-b)
B．a∥b D． a⊥b
正确答案：C 错因：学生不能把a、b的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 AP=tAB
(0≤t≤1)则OA·OP 的最大值为 （
）
- 12 -
A．3 B．6 C．9 D．12
正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当?OP?cos?最大时，OA·OP 即为最
大。
5、在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为 ( )
A 20 B ?20 C 203 D ?203 错误分析:错误认为BC,CA?C?60?,从而出错. 答案: B
略解: 由题意可知BC,CA?120?,
故BC?CA=BC?CA?cosBC,CA?5?8???6、已知向量 a=(2cos?，2sin?)，??(
2A．?-?
3?1????20. ?2??2,?)， b=（0,-1)，则 a与 b的夹角为( )
B．
?+? 2 C．?-
? 2 D．?
正确答案：A 错因：学生忽略考虑a与b夹角的取值范围在[0，?]。
??????7、如果a?b?a?c,且a?0，那么 （ ）
?????????A．b?c B．b??c C． b?c D．b,c在a方向上的投影相等
正确答案：D。
错误原因：对向量数量积的性质理解不够。
????????????????????8、已知向量OB?(2,0),OC?(2,2),CA?(2cosa,2sina)则向量OA,OB的夹角范围是
（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2] 正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。
9、设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列a与b共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使a=λb或b=λa； ② |a·b|=|a| |b|； ③
x1y1?； ④ (a+b)//(a－b) x2y2A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 答案：C
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点评：①②④正确，易错选D。
10、以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使?A?90，则AB的坐标为（ ）。
A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5） C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）
正解：B
设AB?(x,y)，则由|OA|?|AB|??52?22?x2?y2 ①
而又由OA?AB得5x?2y?0 ② 由①②联立得x?2,y??5或x??2,y?5。 ?AB?(2,?5)或（－2，5）误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。 11、设向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则
x1y?1是a//b的（ ）条件。 x2y2A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要 正解：C 若
x1y?1则x1y2?x2y1?0,?a//b，若a//b，有可能x2或y2为0，故选C。 x2y2x1y?1，此式是否成立，未考虑，选A。 x2y2误解：a//b?x1y2?x2y1?0?12、在?OAB中，OA?(2cos?,2sin?),OB?(5cos?,5sin?)，若OA?OB??5，
则S?OAB=（ ）
A、3 B、
正解：D。
∵OA?OB??5∴|OA|?|OB|?cosV??5（LV为OA与OB的夹角）
353 C、53 D、 22?2cos??2?(2sin?)2?∴cosV?(5cos?)2??5sin???cosV??5
211533∴sinV?∴S?OAB?|OA|?|OB|?sinV? 2222误解：C。将面积公式记错，误记为S?OAB?|OA|?|OB|?sinV
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13、设平面向量a?(?2,1)，b?(?,?1)，(??R)，若a与b的夹角为钝角，则?的取值范围是
（A）
（?A、
错解：C
111?），2）?（2，??）??） B、（2，+?） C、（—， D、（-?， 222错因：忽视使用a?b?0时，其中包含了两向量反向的情况 正解：A
14、设a,b,c是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
??③?b?c??a??c?a??b不与c垂直 ④若a?b,则a?b与c不平行
????①(a?b)?c?c?a?b?0 ②a?b?a?b
其中正确命题的个数是
（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清。
15、若向量a=?x,2x?，b=??3x,2?，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是
______________.
???????? 错误分析：只由a,b的夹角为钝角得到a?b?0,而忽视了a?b?0不是a,b夹角为钝角的
?????充要条件,因为a,b的夹角为180时也有a?b?0,从而扩大x的范围,导致错误.
??2 正确解法:? a，b的夹角为钝角, ?a?b?x???3x??2x?2??3x?4x?0
4 (1) 31?? 又由a,b共线且反向可得x?? (2)
3 解得x?0或 x? 由(1),(2)得x的范围是????,???1??1??4?????,0???,??? 3??3??3?答案: ????,???1??1??4?????,0???,???. 3??3??3?16、已知平面上三点A、B、C满足|AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于
A．25 B．24 C．－25 D．－24
（ C ）
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平面向量易错题
