平面向量易错题解析
1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？
2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？ （利用|a|?a；|a|??2?2x2?y2）
3、你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算）
4、你弄清“a?b?x1x2?y1y2?0”与“a//b?x1y2?x2y1?0”了吗？
[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？
（1） 在实数中：若a?0，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若a?0，且a?b?0，
不能推出b?0.
（2） 已知实数a,b,c,(b?o)，且ab?bc，则a=c,但在向量的数量积中没有
???????????a?b?b?c?a?c.
?????（3） 在实数中有(a?b)?c?a?(b?c)，但是在向量的数量积中
(a?b)?c?a?(b?c)，这是因为左边是与c共线的向量，而右边是与a共线的
向量.
5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？
6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），
?????????????则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
????AB)； ?????|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
????（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：
a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定
相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共
?线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点
????????A、B、C共线?AB、 AC共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。
????如下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，
- 1 -
????????终点相同。（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则
????????????????????（5）若a?b,b?c，则a?c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______AB?DC。
（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，
???则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内
??的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2。如（1）若a?(1,1),b?
??1?3?；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向(1,?1),c?(?1,2)，则c?______（答：a?b）
22???????????????量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D.
?????????????13；（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）
24????????????????2?4?AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____（答：a?b）；（4）已知?ABC中，点D33在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___（答：0）
?????????????????如下：?1??a??a,?2?当?>0时，?a的方向与a的方向相同，当?<0时，?a的方向
??与a的方向相反，当?＝0时，?a?0，注意：?a≠0。
4、实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定
??????????（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?a,OB?b，?AOB??
5、平面向量的数量积：
?0?????称为向量a，b的夹角，当?＝0时，a，b同向，当?＝?时，a，b反向，当
?＝
?时，a，b垂直。 2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量
????，记作：a?b，即a?b＝abcos?。|a||b|cos?叫做a与b的数量积（或内积或点积）
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________（答：－9）；（2）已知?????????1?1???；（3）a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为，则k等于____（答：1）
224????????b??3，则a?b等于____（答：23）已知a?2,b?5,a?；（4）已知a,b是两个非零向量，
????????????????且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____（答：30?）
??（3）b在a上的投影为|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|a|?3，
?????12|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______（答：）
5?（4）a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
- 2 -
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
????①a?b?a?b?0；
???2???2??2②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，a?a?a?a,a?a；当a与b反向
??????时，a?b＝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不同向，a?b?0是?为锐角的必
????要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充
分条件；
??????a?b③非零向量a，b夹角?的计算公式：cos????；④|a?b|?|a||b|。如（1）已知
ab???????a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______（答：
43??????113或??0且??）；（2）已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若?S?，则
322OF,FQ夹角?的取值范围是_________（答：(?a?(coxs?,xs?ibn????????????),y(ac与yb之间有关系式ka?b?3a?kb,其中k?0，①用k??,)）；（3）已知43??k2?1??????(k?0)；表示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小（答：①a?b?4k②最小值为
1?，??60） 2??????????????向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB?a,BC?b，那么向量AC叫做
????????????????a与b的和，即a?b?AB?BC?AC；
????????????????????????②向量的减法：用“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由
减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：
????????????????????????????????????????①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：
6、向量的运算： （1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的
????????????????????????①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则???；（3）若O是?ABC所在平面内一点，且满足|a?b?c|＝_____（答：22）
????????????????????OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D为?ABC?????????????????|AP|???，则?的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，设???|PD|?????????????的值为___（答：2）；（5）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）；
???（2）坐标运算：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则：
??C(7,10)，①向量的加减法运算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。如（1）已知点A(2,3),B(5,4)，
????????????1若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；
2
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,)，则x?y? （答：226???????????A(1,1)或）；（3）已知作用在点的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力2???????????（9,1）） F?F1?F2?F3的终点坐标是 （答：
（2）已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(??1???2????②实数与向量的积：?a???x1,y1????x1,?y1?。
????③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB??x2?x1y,2?y1?，即一个向量的坐标等于表示这个向
?????????????1???AB，AD?3AB，3量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(?1,5)，且AC?则C、D的坐标分别是__________（答：(1,??④平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）,
?3??,]，（－1，0）。（1）若x＝，求向量a、c的夹角；（2）若x∈[?函数f(x)??a?bc＝
84311?的最大值为，求?的值（答：(1)150;(2)或?2?1）；
22??2?22??222⑤向量的模：|a|?x?y,a?|a|?x?y。如已知a,b均为单位向量，它们的夹
?????角为60，那么|a?3b|＝_____（答：13）；
⑥两点间的距离：若A?x1,y1?,Bx?2,y211； ),(?7,9)）
3?，则|AB|??x2?x1???y2?y1?22。如如图，
在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60?，平面上任一点P关于斜坐
??????????????标系的斜坐标是这样定义的：若OP?xe1?ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。（1）若点
P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）
??????????7、向量的运算律：（1）交换律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a；(2)结??????????????????合律：a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c，?a?b??a?b?a??b；（3）
??????????????分配律：?????a??a??a,?a?b??a??b，a?b?c?a?c?b?c。如下列命题
； x2?y2?xy?1?0）
?????????????????中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)?|a|
??????????????2?2??????2?2???2???2a?bb⑦?2??；⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正确的是______（答：①
aa⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不
满足结合律，即a(b?c)?(a?b)c，为什么？
???????2?2?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则a?c；⑥a?a；
???2????- 4 -
????如(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知
????????8、向量平行(共线)的充要条件：a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2＝0。
????????????????????????????????ABACABAC(?????????)?(?????????)。如(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m? ABACABAC（答：
??????????；（3）设a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______（答：4）
????????????PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
????????9、向量垂直的充要条件：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0.特别地
?????????n?m坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知n?(a,b),向量n?m，且，则m3）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?，则点B的2的坐标是________ （答：(b,?a)或(?b,a)）
10.线段的定比分点：
（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数
??????????????????? ，使PP??PP2，则?叫做点P分有向线段PP112所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定
比为?的定比分点；
（2）?的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时??>0；当P点在线段 P1P2的延长线上时??<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时??1???0；若
??????????????1?，点P分有向线段PP则点P分有向线段P。如若点P分AB所12所成的比为2P1所成的比为
????37成的比为，则A分BP所成的比为_______（答：?）
43??????（3）线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的
x1?x2?x1??x2x???x??2??1???比为?，则?，特别地，当?＝1时，就得到线段P1P2的中点公式y1?y2。?y??yy?2?y?1??2?1???在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这
1???些点确定对应的定比?。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP??MN，则点P的坐
371标为_______（答：(?6,?)）；（2）已知A(a,0),B(3,2?a)，直线y?ax与线段AB交于M，
32????????????且AM?2MB，则a等于_______（答：２或－４）
?常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量a把
?(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数
?x??x?h11.平移公式：如果点P(x,y)按向量a??h,k?平移至P(x?,y?)，则?；曲线??y?y?k??f(x,y)?0按向量a??h,k?平移得曲线f(x?h,y?k)?0.注意：（1）函数按向量平移与平
y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a＝________
??
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平面向量易错题
