2018北京四中高二（下）期中
数 学（文）
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 在复平面内，复数
1?i的对应点位于 iC. 第三象限
D. 第四象限
A. 第一象限 B. 第二象限
2. 函数f（x）是定义在（-?，+?）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
3
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 曲线y=x-2x+l在点（1，0）处的切线方程为
A. y=x-1
B. y=-x+1
C. y=2x-2
D. y=-2x+2
4. 函数y=xcosx的导数为
A. y'=cosx-xsinx C. y'=xcosx-sinx
2
B. y'=cosx+xsinx D. y'=xcosx+sinx
5. 设f（x）=x-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为
A. （0，+?）
B. （-?，-1），（2，+?） D. （-1，0）
C. （2，+?）
2
6. 若复数z=（x-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为 ．．．
A. 1个 8. 函数f（x）=（
A. 0
B. 2个
C. 3个
D. 4个
1x
）-log2x的零点个数为 2
B. 1
C. 2
D. 3
9. 若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是
1 / 5
A. y=sinx
3
B. y=lnx C. y=e
x
D. y=x
3
10. 函数f（x）=x-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是
A. 20
B. 18
C. 3
D. 0
11. 设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是
A. （-?，-1）?（0，1）
B. （-1，0）?（1，+?）
C. （-?，-1）?（-1，0） D. （0，1）?（1，+?）
12. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即
n）；2如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为
A. 4
B. 6
C. 8
D. 32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
13. 已知i是虚数单位，若复数z满足zi=l+i，则z=___________.
14. 如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________.
2
15. 已知函数f（x）=e-x+a有零点，则a的取值范围是_________.
16. 已知函数f（x）=x+ax+bx+a在x=1处有极值10，则（a，b）=________. 17. 对于函数f（x）=（2x-x）e
①（-2，2）是f（x）的单调递减区间；
②f（-2）是f（x）的极小值，f（2）是f（x）的极大值； ③f（x）没有最大值，也没有最小值； ④f（x）有最大值，没有最小值. 其中判断正确的是_________.
18. 若函数ef（x）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：
①f（x）=
x
2
x
3
2
2
x
12-x
（x>1） ②f（x）=x ③f（x）=cosx ④f（x）=2 x中具有M性质的是__________.
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三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. 19. 已知函数f（x）=-x+3x+9x+a.
（I）求f（x）的单调减区间；
（II）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
20. 设f（x）=a（x-5）+61nx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）.
（I）确定a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间与极值.
21. 已知：函数f（x）=axlnx+bx-c（x>0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数.
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间：
（3）若对任意x>0，不等式f（x）≥-2c恒成立，求c的取值范围. 22. 已知函数f（x）=e·（a+
x
2
4
4
23
2
1+lnx），其中a∈R. xx垂直，求a的值； e（I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=-
（II）当a∈（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值.
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2018北京四中高二（下）期中数学（文）
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号 1 答案 D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13 16 三、解答题：本大题共4小题，共60分
19. 解：（I）f'（x）=-3x+6x+9. 令f'（x）<0，解得x<-1或x>3， 所以函数f（x）的单调递减区间为（-?,-1），（3，+?）. （II）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a， f（2）=-8+12+18+a=22+a， 所以f（2）>f（-2），
因为在（-1，3）上f'（x）>0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值.
于是有22+a=20，解得a=-2.
故f（x）=-x+3x+9x-2. 因此f（-1）=1+3-9-2=-7， 即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-7.
20. 解：（I）因f（x）=a（x-5）+6lnx，故f'（x）=2a（x-5）+
2
3
2
2
2 B 3 A 4 A 5 C 6 B 7 A 8 B 9 A 10 A 11 A 12 B -2i （4,-11） 14 17 -2011 ①③ 15 18 （-?,-1] ①④ 6. x令x=l，得f（1）=16a，f'（1）=6-8a，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-16a=6-8a（x-1），由点（0，6）在切线上可得6-16a=8a-6，故a=
（II）由（I）知f（x）=
1. 26(x?2)(x?3)12
（x-5）+6lnx（x>0），f'（x）=x-5+=.
xx2令f'（x）=0，解得x1=2，x2=3.
当0 21. 解：解：（I）由题意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3. 又对f（x）求导得f'（x）=4axlnx+ax· 3 4 9+6ln2， 2133 +4bx=x（4alnx+a+4b）. x 4 / 5 由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12. （II）由（I）知f'（x）=48xlnx（x>0）. 令f'（x）=0，解得x=1. x （0,1） 1 0 （1,+?） + 3 f'（x） - f（x） ↘ 极小值f（1） ↗ 因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+?）. （III）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值. 要使f（x）≥-2c（x>0）恒成立，只需-3-c≥-2c. 即2c-c-3≥0，从而（2c-3）（c+1）≥0. 解得c≥ 2 2 2 33或c≤-1. 所以c的取值范围为（-?，-1]?[，+?） 22x 22. 解：（I）f（x）的导函数为f'（x）=e·（a+=e·（a+ x 111x +lnx）+e·（-2） xxx21-+lnx）. xx2依题意，有f'（1）=e·（a+1）=e， 解得a=0. （II）由f'（x）=e·（a+令g（x）=a+ x 2121x -2+lnx）及e>0知，f'（x）与a+-2+lnx同号. xxxx21-+lnx， xx2x2?2x?2(x?1)2?1则g'（x）==. x3x3所以对任意x?（0,+?），有g'（x）>0，故g（x）在（0，+?）单调递增. 因为a∈（0，ln2），所以g（1）=a+l>0，g（故存在x0∈（ 11）=a+ln<0， 221，1），使得g（x0）=0. 21，1）上的情况如下： 2（x0,1） + ↗ f（x）与f'（x）在区间（ x （x0 1,x0） 20 极小值 f'（x） - f（x） ↘ 所以f（x）在区间（ 1，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增. 2所以f（x）存在极小值f（x0）. 5 / 5
2018北京四中高二(下)期中数学(文)含答案
