50C4C31
P(X＝4)＝＝.84C14
所以随机变量X的分布列为
XP
1114
1
3
3
1
5
237
337
4114
均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
1477142
13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于( )
61687
A. B. C. D.12551255答案 B
27
54
36
8
解析 由题意知X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
125125125125
27
54
36
8
150
6
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.1251251251251255
14．某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X，若X∈[1,300]，每单提成3元，若X∈(300,600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1,400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x(单)
天数
132
146
1612
176
182
202
126
表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y(单)
天数
114
135
1412
153
165
181
(1)设美团外卖配送员月工资为f(X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；
(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解 (1)因为X＝Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，故当X∈(300,400]时，f(X)>g(Y)，故X∈(400,600]时，f(X) xP 13115 乙日送餐量y的分布列为 yP 11215 1 1 1316 1425 15110 1616 18130 1415 1625 1715 18115 20115 2111 则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16， 1555515152111 E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14. 156510630②E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)， 饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780元>3 720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员． 2 1 15．(2019·浙江)设0 XP 013 a13 113 则当a在(0,1)内增大时，( )A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D 1?a＋1?2?1－2a?2?a－2?26a2－6a＋6 解析 由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝27272732729 16．(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．(1)解 X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为 X －1 0 1 [()]a－2 2＋ 134 ，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大． P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β) (2)①证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列． ②解 由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)48－1＝ 3p1. 3 由于p8＝1，故p1＝ 48－1 ，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)44－1＝ 3p1＝ 1257. p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率 1 为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 257 ≈0.003 9，此时得出错误结
2021新高考版大一轮复习用书数学第十章 10.4
