均值与方差
例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损2
15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
99
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，
31
1
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.5315
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1P
30079
－15029
7
72
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
99
7
D(X1
)＝(300－200)2×
9
＋(－150－200)2×
29
＝35 000，
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2P
50035
－30013
0115
311
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.5315
3
D(X2
)＝(500－200)2×
5
＋(－300－200)2×
13
＋(0－200)2×
1
＝140 000.
15
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解． (2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值． (3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断． 跟踪训练2 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不1112 超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人 4623滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元， 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝.424636111 两人都付0元的概率为P1＝×＝，4624121 两人都付40元的概率为P2＝×＝，233111 两人都付80元的概率为P3＝×＝， 4624则两人所付费用相同的概率为 1 P＝P1＋P2＋P3＝ 24 1 1 5 ＋＋＝.32412 (11 )(112 )1 (2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则 11 1 P(ξ＝0)＝×＝，4624 12111 P(ξ＝40)＝×＋×＝，43264 11121 1 5 P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， 46234612 11121 P(ξ＝120)＝×＋×＝，26434 11 1 P(ξ＝160)＝×＝. 4624所以ξ的分布列为 ξP 0124 1 E(ξ)＝0× 24 1 5 1 4014 180512 12014 160124 ＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. 412424 1 1 ＋(40－80)2× 4 ＋(80－80)2× 512 ＋(120－80)2× 14 ＋(160－80)2× 124＝4 0003.D(ξ)＝(0－80)2× 24 超几何分布 例3 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) 频数 [25,35)3 [35,45)1 [45,55)1 [55,65)1 [65,75)1 [75,85]3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 解 (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A， 32 C1C721 则P(A)＝＝.3C1040 (2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3. k7kC3·C3－ P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 103C 33C0C7 7＝2124，， ∴P(ξ＝0)＝ C 103 32C1C7 P(ξ＝1)＝ 3C1031C2C7 ＝ 407 P(ξ＝2)＝ C 103 ＝ 401 ，7C3C0 P(ξ＝3)＝ 3C10 ＝ 120 .故ξ的分布列为 ξP 0724 思维升华 (1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题．②随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)．②已知各类对象的个数．③从中抽取若干个个体． 跟踪训练3 某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及均值． 解 因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布． i3－ C3C5i X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)． 83C33C0C55 由公式可得P(X＝0)＝＝， 8C32832 C1C515 P(X＝1)＝＝，38C28 12140 2740 31120 31C2C515 P(X＝2)＝＝，83C565C3C01 P(X＝3)＝＝.83C56 所以X的分布列为 XP 0528 5 11528 21556 3156 15151639 所以X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.28285656568 1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )A.XPB.XP 10.4 20.7 3－0.1 －10.3 00.4 10.4 C.XPD.XP 0.10.3 0.10.4 0.70.5 －10.3 00.4 10.3 答案 C 2．(2020·福州模拟)若离散型随机变量X的分布列为 XP 0a2 1a22
2021新高考版大一轮复习用书数学第十章 10.4
