《数学分析》考试题
一、(满分10分,每小题2分)单项选择题:
1、{an}、{bn}和{cn}是三个数列,且存在N,? n>N时有an?bn?cn,则
( )
A. {an}和{bn}都收敛时,{cn}收敛;B. {an}和{bn}都发散时,{cn}发散; C. {an}和{bn}都有界时,{cn}有界;D. {bn}有界时,{an}和{cn}都有界;
?sinkx x?0,?x, ?2、f(x)??k, x?0, (k为常数).
?2?x, x?0,??函数 f(x) 在 点x0?0 必 ( ) A.左连续; B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、f''(x0)在点x0?0必 ( )
?f(x0??x)?f(x0)?f(x0??x)?f(x0)??; limA. lim ; B. ???x?0?x?0?x?x???f(x0??x)?f(x0)?f'(x0??x)?f'(x0)?; D. limlimC. ? ; ???x?0?x?0?x?x??'22'4、设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可微,但f(a)?f(b)。则 ( ) A. ???(a,b),使f'(?)?0 ; B. ???(a,b),使f'(?)?0 ; C. ?x?(a,b),使f'(x)?0 ;
D.当f(b)>f(a)时,对?x?(a,b),有f'(x)>0 ;
5、设在区间Ⅰ上有?f(x)dx?F(x)?c, ?g(x)dx?G(x)?c。则在Ⅰ上有
( )
A.
?f(x)g(x)dx?F(x)G(x) ; B. ?f(x)g(x)dx?F(x)G(x)?c ;
1 / 3
C. ?[f(x)G(x)dx?g(x)F(x)]dx?F(x)G(x)?c ;
D. ?[f(x)F(x)dx?g(x)G(x)]dx?F(x)G(x)?c ; 二、(满分15分,每小题3分)填空题 :
2x?1?3x?2?6、lim??x???3x?1??7、
= ;
f(x)?sgn(cosx)。f(x)在区间[??,?]上的全部间断点为 ;
(11)8、f(x)=sin2x, f()? ;
6?9、 函数f(x)在R内可导,且在(??,1)内递增,在(1,??)内递减,F(x)?f(xex),
F(x)的单调递减区间为 ;
f(x)f'(x)10、?dx? ; 21?f(x)三、(满分36分,每小题6分)计算题:
1??111、lim?2?? ; 2x?0xsinx??ex?e?x12、把函数shx?展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ;
213、?ex?1arctgex?1dx ; 14、f(x2)?ex,计算积分?15、?f(x)xdx ;
x?3dx ; 2x?3x?216、斜边为定长c的直角三角形绕其直角边旋转,求所得旋转体的最大体积 ; 四、(满分7分)验证题:
2n2?n?32? ; 17、有“??N”定义验证数列极限limh?03n2?253五、(满分32分,每小题8分)证明题:
18、设函数f(x)和g(x)都在区间Ⅰ上一致连续,证明函数f(x)?g(x)在区间Ⅰ上一致连续;
19、设函数f(x)在点x0可导且f'(x0)?0,试证明:?y~df(x)x?x0,其中
?y?f(x0??x)?f(x0) ;
2 / 3
20、设函数f(x)在点a具有连续的二阶导数,试证明:
limh?0f(a?h)?f(a?h)?2f(a)''?f(a) ; 2h?时,有不等式 22x sinx> .
?21、试证明:0 3 / 3
上海财经大学数学分析测试题(大)
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