(1)请直接写出点C,D的坐标; (2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上
时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D停止,求抛物线上C ,E两
点间的抛物线弧所扫过的面积. y
[来源:Z,xx,k.Com]
x
y??(第24题)
1x?1 2(2009年浙江台州24题解析)(1)C(3,2),D(1,3);……………………2分
(2)设抛物线为y?ax2?bx?c,抛物线过(0,1),(3,2),(1,3),
5?a??,?6?c?1,?17??,…………………………………………………2分 ?a?b?c?3,解得?b?6?9a?3b?c?2.???c?1.??∴y??5217x?x?1.……………………………………………………………1分 66(3)①当点A运动到点F时,t?1, 当0?t?1时,如图1,
∵?OFA??GFB', tan?OFA?OA1?, OF2∴tan?GFB'?GB'GB'15??,∴GB'?t, FB'25t2图1
∴S?FB'G115t52?FB'?GB'??5t??t;……2分 2224②当点C运动到x轴上时,t?2,
当1?t?2时,如图2,
图2
A'B'?AB?22?12?5,
∴A'F?5t?5,∴A'G?5t?5, 2∵B'H?5t, 212∴S梯形A'B'HG?(A'G?B'H)?A'B' ?15t?55t(?)?5 22255t?;…………(2分) 24?
③当点D运动到x轴上时,t?3, 当2?t?3时,如图3, ∵A'G?5t?5, 25?5t?535?5t?, 22∴GD'?∵S?AOF?图3
1?1?2?1,OA?1, 2?AOF∽?GD'H
∴
S?GD'HGD'2?(),
S?AOFOA35?5t2), 22∴S?GD'H?((5)?(∴S五边形GA'B'C'H?35?5t2) 2
=?(解法不同的按踩分点给分)
(4)∵t?3,BB'?AA'?35,
521525t?t?.………(2分) 424∴S阴影?S矩形BB'C'C?S矩形AA'D'D ………………………………………………(2分) =AD?AA'
=5?35?15.……………………………………………………………(1分)
图4
107.(2009年浙江义乌)24.已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图像上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如:如图,正方形ABCD是一次函数y?x?1图像的其中一个伴侣正方形。
(1)若某函数是一次函数y?x?1,求它的图像的所有伴侣正方形的边长; (2)若某函数是反比例函数y?k(k?0),他的图像的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)x[来源:Zxxk.Com](m <2)在反比例函数图像上,求m的值及反比例函数解析式;
2
(3)若某函数是二次函数y?ax?c(a?0),它的图像的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 # .,写出符合题意的其中一条抛物线解析式 # .,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数? # .。(本小题只需直接写出答案)
(2009年浙江义乌24题解析)解:(1)如图1,当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,正方形ABCD的边长为2; ························· 1分 当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时, 设正方形的边长为a, 易得3a?··························································· 2分 2. ·
解得a?122. ·,所以正方形边长为················ 3分 33y 3 D 1 B A E O 1 2 3 图2 2 F C (2)如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴, 易知△ADE≌△BAO≌△CBF. ························· 1分 此时,m?2,DE?OA?BF?m, OB?CF?AE?2?m, ?OF?BF?OB?2,
x ?C点坐标为(2?m,2), ····································································································· 2分
?2m?2(2?m)解得m?1. ······························································································ 3分
反比例函数的解析式为y?
2
. ···························································································· 4分 x
?3);(?4,7);(4,,3);(7,1). ·(3)(?1········································································· 3分
(写对1个1分,2个或3个2分,4个3分) 对应的抛物线分别为y?122372223x?x?;y??; 88404031355y?x2?;y??x2?. ······················································································· 4分
7777所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数. ································································· 5分
108.(2009年浙江舟山)24. (本题12分)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y?ax2上.
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最
短,求出点Q的坐标;
(2) 平移抛物线y?ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,
0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最
短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由. (2009年浙江舟山24题解析)解:(1) 将点A(-4,8)的坐标代入y?ax2,
A y 8 6 4 D C -4 -2 O -2 -4 2 B 2 4 x 1解得a?.
2 ……1分
12x,求得点B的坐标为(2,2), 2则点B关于x轴对称点P的坐标为(2,-2). ……1分 将点B(2,n)的坐标代入y?54直线AP的解析式是y??x?.
33令y=0,得x? ……1分 ……1分 ……1分
44.即所求点Q的坐标是(,0).
55414︱=, 55
(第24题) y A 8 6 4 D C -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 (第24题(1)) 2 B (2)① 解法1:CQ=︱-2-故将抛物线y?1214x向左平移个单位时,A′C+CB′最短, 25……2分
……1分
114此时抛物线的函数解析式为y?(x?)2.
25解法2:设将抛物线y?12x向左平移m个单位,则平移后A′,B′的坐2标分别为A′(-4-m,8)和B′(2-m,2),点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m,-8).
554直线A′′B′的解析式为y?x?m?.
333 ……1分
要使A′C+CB′最短,点C应在直线A′′B′上, ……1分
A′ y 8
6 4 B′ 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′
(第24题(2)①)
14将点C(-2,0)代入直线A′′B′的解析式,解得m?.
5 ……1分 故将抛物线y?
1214x向左平移个单位时A′C+CB′最短,此时抛物线的函数解析式为25
……1分
114y?(x?)2.
25
压轴题9
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