四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.
y y
C C N N′ N O O x x D B B
A A M M
第（2）题 备用图
（第24题） （2009年浙江湖州24题解析） （1）M?1，a?1?，N?1??4a，?a?.……………4分
3??31??4a，?a?，
3??3（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，?N???2将N′的坐标代入y?x?2x?a得?a?131628a?a?a， 939，a2??.……………2分 ?a1?0（不合题意，舍去）
43???N??3，?，?点N到y轴的距离为3.
4??9???A?0，??，N?
4??9?3??ANy?x?，直线的解析式为， 3，???44??它与x轴的交点为D?，0?，?点D到y轴的距离为
?9??4?9. 419199189?S四边形ADCN?S△ACN?S△ACD???3????.……………2分
2222416（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，
7??4?a?，代入抛物线的解析式， ?把N向上平移?2a个单位得到P，坐标为?a，3??3得：?7168a?a2?a?a393
[来源:Zxxk.Com]3，a2??， ?a1?0（不舍题意，舍去）
8
?17??P??，?.……………2分
?28?当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
?OA?OC，OP?ON．
?41??P 与N关于原点对称，?P??a，a?，
?33?将P点坐标代入抛物线解析式得：a?，a2???a1?0（不合题意，舍去）
131628a?a?a， 9315?55?，?P?，??．……………2分 828???17??55?或?，P??，能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平?存在这样的点P1?2?，??28??28?行四边形．
MN?4，101.（2009年浙江嘉兴）24．如图，已知A、B是线段MN上的两点，以MA?1，MB?1．
A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x． （1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？
[来源:学科网]C M A B （第24题）
N （2009年浙江嘉兴24题解析）（1）在△ABC中，∵AC?1，AB?x，BC?3?x． ?1?x?3?x∴?，解得1?x?2． ······················································································ 4分
1?3?x?x?（2）①若AC为斜边，则1?x2?(3?x)2，即x2?3x?4?0，无解． ②若AB为斜边，则x2?(3?x)2?1，解得x?③若BC为斜边，则(3?x)2?1?x2，解得x?∴x?5，满足1?x?2． 34，满足1?x?2． 354或x?． ·············································································································· 9分 33C （3）在△ABC中，作CD?AB于D，
1设CD?h，△ABC的面积为S，则S?xh．
2①若点D在线段AB上，
M A D B N
（第24题-1）
则1?h2?(3?x)2?h2?x．
∴(3?x)2?h2?x2?2x1?h2?1?h2，即x1?h2?3x?4． ∴x2(1?h2)?9x2?24x?16，即x2h2??8x2?24x?16． ∴S2?412231． ································· 11分 xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（≤x?2）
4223当x?4231时（满足≤x?2），S2取最大值，从而S取最大值． ························ 13分
2223C ②若点D在线段MA上， 则(3?x)?h?1?h?x． 同理可得，S2?222122xh??2x2?6x?4 4M D A B N 431， ??2(x?)2?（1?x≤）
223易知此时S?2． 2（第24题-2）
2． ··········································································· 14分 2102.（2009年浙江丽水）24. 已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标
综合①②得，△ABC的最大面积为
分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒. (1)填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、
高BE的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得 △APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边
形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值. （2009年浙江丽水24题解析）解：（1）5 , 24,
PGAEOQB(图1) yDEAOCxB(第24题) yD24…………………………………3分 5（2）①由题意
Cx，得AP=t，
AQ=10-2t. …………………………………………1分
如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得
QGQA△AQG∽△ABE,∴, ?BEBA4848t∴QG=, …………………………1分 ?525124245∴S?AP?QG??t2?t(≤t≤5).
22552……1分
2455∵S??(t?)2?6(≤t≤5).
2522∴当t=
5时，S最大值为6.…………………1分 2② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可. 当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4.………………1分 以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点
PEAMFOCxyD1F,则AM=AP?2.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得
2FMQ1FOD33???, ∴FM?,
2AMCQ1AO433∴Q1F?MQ1?FM?. ………………1分
104221?tAP∴CQ1==.则QF?35k?tCQ1CQ111∴k?? .……………………………1分
AP10第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
ABQ1(图2),
yPDOCB?BQ231?tAP,∴k??.……1分 ?AP2k?tCB?BQ2②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N， 则
CxQ2ByPEAONQ3B(图4)(图3)ANAP由△ANP∽△AEB,得. ?AEAB287∵AE=AB2?BE2? , ∴AN＝.
5255656194∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10- ?252525DCx CB?BQ3971?tAP.∴k?. ??AP50k?tCB?BQ3………………………1分
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
则
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为
11397或或. 10250103.（2009年浙江宁波）26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为
（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形的形状是 ，
当α=90°时，
BP的值是 ． PQBP的值; PQ（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求
②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中,当0???180时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=
001BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由． 2
（2009年浙江宁波26题解析）解：（1）矩形（长方形）； ················································· 1分
BP4?． ······························································································································ 3分 BQ7（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．
?CPOCCP6??， ，即A?B?OA?6897?CP?，BP?BC?CP?． ······················································································ 4分
22同理△B?CQ∽△B?C?O，
压轴题9
