2009年全国中考数学压轴题精选精析（九）
97.（2009年新疆乌鲁木齐）23．如图9，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为
A(4，、0)C(0，2)，D为OA的中点．设点P是?AOC平分线上的一个动点（不与点O重
合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式； （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使?CPN?90°？若存在，请直接写出点P的坐标．
y
C(0，2) B P O A(4，0) x D
图9
DO?C．（2009年新疆乌鲁木齐23题解析）解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD?2，∴O
又∵OP是?COD的角平分线，∴?POC??POD?45°， ∴△POC≌△POD，∴PC?PD． ··············································································· 3分 （2）过点B作?AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求． 易知点F的坐标为（2，2），故BF?2，作PM⊥BF， ∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM?∴点P的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y?ax?bx．
21BF?1， 2y CP (0，2) F M B A(4，0) x 3)和点D(2，0)， 又∵抛物线经过点P(3，O ∴有??9a?3b?3?a?1 解得?
?4a?2b?0?b??22D E ∴抛物线的解析式为y?x?2x． ······················································································ 7分 （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于?AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC，它与?AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE?PD?EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．
，?1)，C点的坐标(0，2)， ∵抛物线y?x?2x的顶点E的坐标(12
设CE所在直线的解析式为y?kx?b，则有?∴CE所在直线的解析式为y??3x?2．
?k?b??1?k??3，解得?．
?b?2?b?21?x???y??3x?2??11?2P点满足?，解得?，故点P的坐标为?，?．
?22??y?x?y?1??2△PED的周长即是CE?DE?10?2．
2)． ·（4）存在点P，使?CPN?90°．其坐标是?，?或(2，··································· 14分
98.（2009年云南）23．（本小题14分）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，
点A、C的坐标分别为A?3，????、C?0，4?，点D的坐标为D??5，??，点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：
（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出
此时直线DP的函数解析式；
[来源:Zxxk.Com]?11??22?
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称
为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．
注：第（3）问请用备用图解答． DyyCBCBOAxDOAx[来源:Z_xx_k.Com] 备用图
（2009年云南23题解析）解：（1）连结BO与AC交于点H，则当点P运动到点H时，直线
DP平分矩形OABC的面积．理由如下：
∵矩形是中心对称图形，且点H为矩形的对称中心．
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP过矩形OABC的对称中心点H，所以直线DP平分矩形OABC的面积．…………2分
3 由已知可得此时点P的坐标为P(，2)．
2 设直线DP的函数解析式为y?kx?b．
??5k?b?0，420?则有?3 解得k?，b?．
1313k?b?2.??2420所以，直线DP的函数解析式为：y?x?． ························································ 5分
1313（2）存在点M使得△DOM与△ABC相似．
如图，不妨设直线DP与y轴的正半轴交于点M(0，ym)． 因为?DOM??ABC，若△DOM与△ABC相似，则有当
OMBCOMAB或． ??ODABODBCyOMBC31515时，即m?，解得ym?．所以点M1(0，)满足条件． ?ODAB5444yOMAB42020当时，即m?，解得ym?．所以点M2(0，)满足条件． ?ODBC5333由对称性知，点M3(0，?15)也满足条件． 41520综上所述，满足使△DOM与△ABC相似的点M有3个，分别为M1(0，)、M2(0，)、
43M3(0，?15························································································································ 9分 )． ·45画圆，过点D分别作?P的2y（3）如图 ，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为
切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为点D分别作?P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．
[来源学科网]5画圆，过2
FPCB在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD， ∴△DPE≌△DPF．
15∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×?DE?PE?DE?PE?DE．
22∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．
22∵DE2?DP2?PE2，DE12?DP1?PE11，
?DEOAxF1P1E1
22∴DE12?DE2?DP1?DP．
22∵DP1?DP，∴DE1?DE?0．
∴DE1?DE．由P1点的任意性知：DE是
D点与切点所连线段长的最小值．……12分
在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC， ∠DAP＝∠CAO， ∴△ADP∽△AOC． ∴
DPCODP432，即． ??．∴DP?DACA8551024253471??． 25410∴DE?DP2?PE2?∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝34713471，即Ｓ＝． ··········································································· 14分 44（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）
99（2009年浙江杭州）24. （本小题满分12分）
已知平行于x轴的直线y?a(a?0)与函数y?x和函数y?和点B，又有定点P（2，0） .
[来源:Zxxk.Com]1的图象分别交于点Ax
（1）若a?0，且tan∠POB=
1，求线段AB的长； 98，且在它的对3（2）在过A，B两点且顶点在直线y?x上的抛物线中，已知线段AB=
称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y?AB的距离 .
92x的图象，求点P到直线5
n1?，m9111得m=9n，又点B在函数y? 的图象上，得n?，所以m=3（－3舍去），点B为(3,)，
m3x1118而AB∥x轴，所以点A（，），所以AB?3??；
333311（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a , a），B（，a），则AB=－ a =
aa8, 312所以3a?8a?3?0，解得a??3或a? .
31当a = －3时，点A（―3，―3），B（―，―3），因为顶点在y = x上，所以顶点为
3555253（－，－），所以可设二次函数为y?k(x?)?，点A代入，解得k= －,
333343525所以所求函数解析式为y??(x?)? .
43313525同理，当a = 时，所求函数解析式为y??(x?)?；
34331a1（3）设A（a , a），B（，a），由条件可知抛物线的对称轴为x?? .
a22a91设所求二次函数解析式为：y?(x?2)(x?(a?)?2) .
5a（2009年浙江杭州24题解析）（1）设第一象限内的点B（m,n），则tan∠POB?点A（a , a）代入，解得a1?3，a2?66，所以点P到直线AB的距离为3或 1313
100.（2009年浙江湖州）已知抛物线y?x?2x?a（a?0）与y轴相交于点A，顶点为
2M.直线y?1x?a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N. 2(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M? ， ?，N? ， ?； (2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
(3)在抛物线y?x?2x?a（a?0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的
2
压轴题9
